Resolva as equaçÔes e os problemas de valor inicial a seguir.
t^-1 d yd t=2 cos ^2 y ; y(0)=pi / 4

Passo 1

O exercício pede resolver a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
A equação é
t^-1dydt=2cos^2y,
e a condição é y(0)=pi/4. O conteúdo envolve equações separáveis, então vamos usar a teoria de separação de variáveis e integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação em forma de derivada explícita. Multiplicando ambos os lados por t, obtemos
dydt=2tcos^2y
Isso elimina o termo singular em t=0 e mostra que podemos separar as variáveis sem problemas.

Passo 3

Agora separamos as variáveis: colocamos tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de t do outro. Assim,
1cos^2y,dy=2t,dt
Essa separação é permitida porque estamos lidando com funções contínuas onde cos yneq0.

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados. Lembrando que ddy(tan y)=sec^2y=1/cos^2y e que integral2t,dt=t^2+C, temos
integraldycos^2y=integral2t,dt
que leva a
tan y=t^2+C

Passo 5

Para determinar a constante de integração C, usamos a condição inicial y(0)=pi/4. Substituindo t=0 e y=pi/4 em tan y=t^2+C
tanl(tfracpi4r)=0^2+Cimplies1=C

Passo 6

Com C=1, a solução particular fica
tan y=t^2+1
e, isolando y, obtemos
y(t)=arctanl(t^2+1r)

Resposta

y(t)=\arctan\bigl(t^2+1\bigr)

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