Resolva as equaçÔes e os problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
O exercício pede resolver a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
A equação é
A equação é
e a condição é
. O conteúdo envolve equações separáveis, então vamos usar a teoria de separação de variáveis e integração de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação em forma de derivada explícita. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Isso elimina o termo singular em
e mostra que podemos separar as variáveis sem problemas.
Passo 3
Agora separamos as variáveis: colocamos tudo que depende de
de um lado e tudo que depende de
do outro. Assim,
Essa separação é permitida porque estamos lidando com funções contínuas onde
.
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados. Lembrando que
e que
, temos
que leva a
Passo 5
Para determinar a constante de integração
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
dá
Passo 6
Com
, a solução particular fica
e, isolando
, obtemos
Resposta
y(t)=\arctan\bigl(t^2+1\bigr)