Escreva na forma polar, identifique e desenhe a curva
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a curva dada por
em coordenadas polares, identificar de que tipo de curva se trata e esboçá-la. Vamos usar transformações básicas de coordenadas e depois reconhecer a família da curva.
Passo 2
Em polares sabemos que
,
e
. Substituindo em
obtemos:
Passo 3
Para resolver
tiramos raiz em ambos os lados (lembrando que
):
Isso gera dois casos:
Passo 4
Cada caso é uma equação quadrática em
:
-
ou -
ou
Passo 5
O ramo trivial
é só a origem. Os dois outros ramos podem ser unificados numa única expressão usando o fato de que
pode ficar negativo em certos ângulos. Por isso a forma conjunta mais simples é:
Passo 6
A curva
é um limacon de Pascal (uma lóbulos com laço interno), pois tem a forma
com
,
e
. O laço interno aparece onde
, isto é para
.
Passo 7
Para esboçar:
- No eixo
temos (ponto mais à direita). - Nos ângulos em que
, dá e . - Entre esses ângulos
, o ponto é refletido em direção oposta, formando o laço. - A curva é simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
Forma polar: r = 1 + 2,cos\theta. É um limacon de Pascal com laço interno, simétrico em relação ao eixo x.