Escreva na forma polar, identifique e desenhe a curva
(x^2+y^2-2 x)^2=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a curva dada por (x^2+y^2-2x)^2=x^2+y^2 em coordenadas polares, identificar de que tipo de curva se trata e esboçá-la. Vamos usar transformações básicas de coordenadas e depois reconhecer a família da curva.

Passo 2

Em polares sabemos que x=rcostheta, y=rsintheta e x^2+y^2=r^2. Substituindo em (x^2+y^2-2x)^2=x^2+y^2 obtemos:
(r^2-2rcostheta)^2=r^2

Passo 3

Para resolver (r^2-2rcostheta)^2=r^2 tiramos raiz em ambos os lados (lembrando que r>=0):
|r^2-2rcostheta|=r
Isso gera dois casos:
  1. r^2-2rcostheta=r
  2. r^2-2rcostheta=-r

Passo 4

Cada caso é uma equação quadrática em r:
  1. r^2-2rcostheta-r=0
    Rightarrow r( r-2costheta-1)=0
    Rightarrow r=0 ou r=2costheta+1
  2. r^2-2rcostheta+r=0
    Rightarrow r( r-2costheta+1)=0
    Rightarrow r=0 ou r=2costheta-1

Passo 5

O ramo trivial r=0 é só a origem. Os dois outros ramos podem ser unificados numa única expressão usando o fato de que r pode ficar negativo em certos ângulos. Por isso a forma conjunta mais simples é:
r=1+2costheta

Passo 6

A curva r=1+2costheta é um limacon de Pascal (uma lóbulos com laço interno), pois tem a forma r=a+bcostheta com a=1, b=2 e a/b=1/2<1. O laço interno aparece onde r<0, isto é para costheta< -1/2.

Passo 7

Para esboçar:
  • No eixo theta=0 temos r=3 (ponto mais à direita).
  • Nos ângulos em que r=0, 1+2costheta=0 theta=2pi/3 e 4pi/3.
  • Entre esses ângulos r<0, o ponto é refletido em direção oposta, formando o laço.
  • A curva é simétrica em relação ao eixo x.

Resposta

Forma polar: r = 1 + 2,cos\theta. É um limacon de Pascal com laço interno, simétrico em relação ao eixo x.

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