Use um fator integrante se preciso.
Encontre as soluções de
y^prime+yx=cos xx y

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'+yx=cos xx,y
que é não linear em y. Vamos transformar em uma equação linear em y^2 usando um fator integrante.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação original por y:
y,y'+y^2x=cos xx
Como y,y'=tfrac12 (y^2)', a equação fica
tfrac12 (y^2)' + 1xy^2 = cos xx
Multiplicando tudo por 2 e definindo u=y^2, obtemos a equação linear
u' + 2xu = 2cos xx

Passo 3

Identificamos que se trata de uma EDO linear em u com
P(x)=tfrac2x e Q(x)=tfrac2cos xx. Calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 2xdx=e^2ln|x|=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=x^2 e obtemos
(x^2u)'=x^2cdot2cos xx=2xcos x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral (x^2u)',dx = integral 2xcos x,dx
O lado esquerdo dá x^2u. No lado direito usamos integração por partes:
integral 2xcos x,dx = 2xsin x - integral 2sin x,dx = 2xsin x + 2cos x + C

Passo 6

Isolando u encontramos
u = 2xsin x + 2cos x + Cx^2

Passo 7

Voltando à variável y, como u=y^2, temos
y^2 = 2xsin x + 2cos x + Cx^2,
e portanto

Passo 8

$$y = \pm\sqrt{\frac{2x\sin x + 2\cos x + C}{x^2}}.
$$

Resposta

y = pmraiz2xsin x + 2cos x + Cx^2

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