Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
. - Também é dado
e . - O que se pede: determinar
.
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
- A função
depende de duas variáveis e . - Ambas
e dependem da mesma variável . - Como
aparece, devemos assumir para que o logaritmo esteja definido.
Passo 2
Qual método usar (fórmula que vamos aplicar) e por quê:
- Quando
depende de e , e e dependem de , usamos a regra da cadeia na forma para derivada total:
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a mantendo fixo; é análoga; e são derivadas ordinárias de e .
Passo 3
Preparar para calcular as parciais — reescrever
e usar derivada da raiz:
- Defina
. Assim . - Derivada da raiz (regra de potência): se
então
- Agora calcule as derivadas parciais de
:
- Aplicando a cadeia para as parciais de
:
Passo 4
Calcular
e
:
- Como
,
- Como
,
Passo 5
Montar
usando a fórmula da regra da cadeia e simplificar:
- Primeiro junte as partes:
- Lembrando
, e , substitua para simplificar em função de :
- Colocando tudo em um único quociente (com denominação comum
):
- Portanto a expressão simplificada para
é