Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d z / d t.
z=\sqrt{1+x-2 x y^{4}} ; x=\ln t, y=t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado z=\sqrt{1+x-2 x y^{4}}.
  • Também é dado x=\ln t e y=t.
  • O que se pede: determinar \dfrac{dz}{dt}.
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
  • A função z depende de duas variáveis x e y.
  • Ambas x e y dependem da mesma variável t.
  • Como x=\ln t aparece, devemos assumir t>0 para que o logaritmo esteja definido.

Passo 2

Qual método usar (fórmula que vamos aplicar) e por quê:
  • Quando z depende de x e y, e x e y dependem de t, usamos a regra da cadeia na forma para derivada total:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
  • Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{\partial z}{\partial y} é análoga; \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são derivadas ordinárias de x(t) e y(t).

Passo 3

Preparar para calcular as parciais — reescrever z e usar derivada da raiz:
  • Defina u=1+x-2xy^{4}. Assim z=u^{1/2}.
  • Derivada da raiz (regra de potência): se z=u^{1/2} então
\frac{dz}{du}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Agora calcule as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=1-2y^{4}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2x\cdot 4y^{3}=-8x y^{3}.
  • Aplicando a cadeia para as parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\,(1-2y^{4}),
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\,(-8x y^{3}).

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:
  • Como x=\ln t,
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{t}\quad(\text{válido para }t>0).á
  • Como y=t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(t)=1.

Passo 5

Montar \dfrac{dz}{dt} usando a fórmula da regra da cadeia e simplificar:
  • Primeiro junte as partes:
\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\big((1-2y^{4})\cdot\frac{1}{t}+(-8x y^{3})\cdot 1\big).
  • Lembrando u=1+x-2xy^{4}, x=\ln t e y=t, substitua para simplificar em função de t:
u=1+\ln t-2(\ln t)\,t^{4},
(1-2y^{4})\cdot\frac{1}{t}=\frac{1-2t^{4}}{t}, \qquad -8x y^{3}=-8(\ln t)\,t^{3}.
  • Colocando tudo em um único quociente (com denominação comum t):
\frac{1-2t^{4}}{t}-8(\ln t)\,t^{3} =\frac{1-2t^{4}-8t^{4}\ln t}{t}.
  • Portanto a expressão simplificada para \dfrac{dz}{dt} é
\frac{dz}{dt} =\frac{1-2t^{4}-8t^{4}\ln t}{2t\sqrt{\,1+\ln t-2t^{4}\ln t\,}}.

Resposta

\frac{dz}{dt}=\frac{1-2t^{4}-8t^{4}\ln t}{2t\sqrt{\,1+\ln t-2t^{4}\ln t\,}}

Exercícios relacionados