Derive e simplifique.
y=ln sen x-12 sen^2 x

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função
y = ln(sin x) - tfrac12,sin^2 x
O conteúdo envolve derivada de logaritmo natural e derivada de potência de seno, usando regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar ln(sin x) aplicamos a regra
ddxln(u) = 1u,u'
Aqui u=sin x e u'=cos x, logo
ddxln(sin x)=1sin x,cos x=cot x

Passo 3

Para derivar -tfrac12,sin^2 x) aplicamos regra da cadeia em v=sin x e v'=cos x:
ddxl(sin^2 xr)=2,sin x,cos x
Multiplicando por -tfrac12)
-tfrac12cdot2,sin x,cos x=-sin x,cos x

Passo 4

Somando as derivadas:
y'=cot x - sin x,cos x
Para simplificar, fatoramos cos x):
y'=cos xl(tfrac1sin x-sin xr)=cos x(1-sin^2 x)sin x
E usando 1-sin^2 x=cos^2 x resulta

Passo 5

y’=\frac{\cos^3 x}{\sin x}

Resposta

y'=cos^3 xsin x

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