Use a fórmula
para determinar a área delimitada pelas curvas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área dentro da curva da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar uma fórmula de cálculo que envolve uma integral ao longo da curva, que é bem legal para achar áreas de formas fechadas. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar essa elipse para aplicar a fórmula direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse com a equação
tem dois parâmetros importantes:
e
, que são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso,
e
.
Para aplicar a fórmula da área, precisamos parametrizar a elipse. Isso significa expressar
e
em função de um parâmetro, geralmente o ângulo
. A parametrização padrão para uma elipse é:
Então, substituindo nossos valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na fórmula da área:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar:
Resposta
A área delimitada pela elipse
é
unidades de área.