Use a fórmula
A=12 ointC x d y-y d x
para determinar a área delimitada pelas curvas abaixo:
x^24+y^29=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área dentro da curva da elipse dada pela equação x^24+y^29=1. Para isso, vamos usar uma fórmula de cálculo que envolve uma integral ao longo da curva, que é bem legal para achar áreas de formas fechadas. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar essa elipse para aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse com a equação x^2a^2+y^2b^2=1 tem dois parâmetros importantes: a e b, que são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso, a = 2 e b = 3.
Para aplicar a fórmula da área, precisamos parametrizar a elipse. Isso significa expressar x e y em função de um parâmetro, geralmente o ângulo theta. A parametrização padrão para uma elipse é:
x = a cos theta
y = b sin theta
Então, substituindo nossos valores:
x = 2 cos theta
y = 3 sin theta

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a theta:
dx = -2 sin theta , dtheta
dy = 3 cos theta , dtheta

Passo 4

Vamos substituir x, y, dx e dy na fórmula da área:
A = 12 ointC x , dy - y , dx
Substituindo:
A = 12 integral0^2pi (2 cos theta)(3 cos theta , dtheta) - (3 sin theta)(-2 sin theta , dtheta)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
A = 12 integral0^2pi 6 cos^2 theta , dtheta + 6 sin^2 theta , dtheta
A = 12 integral0^2pi 6 (cos^2 theta + sin^2 theta) , dtheta
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
A = 12 integral0^2pi 6 , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar:
A = 12 times 6 integral0^2pi dtheta
A = 3 times [theta]0^2pi
A = 3 times (2pi - 0)
A = 6pi

Resposta

A área delimitada pela elipse x^24+y^29=1 é 6pi unidades de área.

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