Use a fórmula deducida do Teorema de Green: A(\mathbb{D})=\frac{1}{2} \int_{C} x d y-y d x para calcular a área da região dada:
\mathbb{D} é a região limitada pela hipociclóide,definida pelas equações x=2 \operatorname{Cos}^{3}(t) e y=2 \operatorname{Sen}^{3}(t) ,onde t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede a área da região \mathbb{D} limitada pela hipociclóide
x(t)=2\cos^3 t,\quad y(t)=2\sin^3 t,\quad t\in[0,2\pi],
usando a fórmula deduzida do Teorema de Green
A(\mathbb{D})=\frac12\int_C\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).
Vamos parametrizar o contorno por t e transformar essa integral de linha num integral em t.

Passo 2

Da parametrização obtemos
dx = x'(t)\,dt = -6\cos^2 t\sin t\,dt,
dy = y'(t)\,dt = 6\sin^2 t\cos t\,dt.
Então o integrando fica
x\,dy - y\,dx =2\cos^3 t\cdot(6\sin^2 t\cos t)\,dt \;-\;2\sin^3 t\cdot\bigl(-6\cos^2 t\sin t\bigr)\,dt.

Passo 3

Agrupando termos em dt:
x\,dy - y\,dx =12\cos^4 t\,\sin^2 t\,dt +12\sin^4 t\,\cos^2 t\,dt =12\cos^2 t\,\sin^2 t\bigl(\cos^2 t+\sin^2 t\bigr)\,dt =12\cos^2 t\,\sin^2 t\,dt.

Passo 4

Substituindo na fórmula de área:
A(\mathbb{D}) =\frac12\int_{0}^{2\pi}12\cos^2 t\,\sin^2 t\,dt =6\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,\sin^2 t\,dt.
Usando \cos^2 t\,\sin^2 t=\tfrac14\sin^2(2t) e \displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^2(2t)\,dt=\pi, vem
A(\mathbb{D}) =6\cdot\frac14\int_{0}^{2\pi}\sin^2(2t)\,dt =\frac32\cdot\pi =\frac{3\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{2}

Exercícios relacionados