Use a fórmula de integraçào por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x arcsin x d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x,arcsin x,dx
usando a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin x, dv = x,dx
Dessa forma,
du = 1raiz1 - x^2,dx, v = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,arcsin x,dx = x^22,arcsin x - integral x^22,1raiz1 - x^2,dx = x^22,arcsin x - 12integral x^2raiz1 - x^2,dx

Passo 4

Para simplificar
integral x^2raiz1 - x^2,dx,
escrevemos x^2 = 1 - (1 - x^2) e separamos:
integral x^2raiz1 - x^2,dx = integral 1raiz1 - x^2,dx - integral raiz1 - x^2,dx
Logo,
12integral x^2raiz1 - x^2,dx = 12gl(integral 1raiz1 - x^2,dx - integral raiz1 - x^2,dxgr)

Passo 5

Usamos as fórmulas conhecidas:
integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin x, integral raiz1 - x^2,dx = x2raiz1 - x^2 + 12arcsin x

Passo 6

Substituindo no resultado do passo anterior:
12l(arcsin x - l(tfracx2raiz1 - x^2 + tfrac12arcsin xr)r) = -x4raiz1 - x^2 + 14arcsin x

Passo 7

Voltando à integral original:
integral x,arcsin x,dx = x^22,arcsin x - l(-x4raiz1 - x^2 + 14arcsin xr) = x^22arcsin x + x4raiz1 - x^2 - 14arcsin x

Passo 8

Agrupando os termos com arcsin x:
x^22arcsin x - 14arcsin x = 2x^2 - 14,arcsin x
Assim,
integral x,arcsin x,dx = 2x^2 - 14,arcsin x + x4raiz1 - x^2 + C

Resposta

boxed integral x,arcsin x,dx = 2x^2 - 14,arcsin x + x4raiz1 - x^2 + C

Exercícios relacionados