Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral x tan (2 x)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x ,tan^2(2x),dx
O conteúdo que vamos usar inclui a identidade trigonométrica
tan^2(u)=sec^2(u)-1
e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Usando tan^2(2x)=sec^2(2x)-1, separamos a integral em duas:
integral x,tan^2(2x),dx =integral x,sec^2(2x),dx ;-;integral x,dx

Passo 3

Para
I1=integral x,sec^2(2x),dx
usamos integração por partes com
u = x, dv = sec^2(2x),dx
Então
du = dx, v = integral sec^2(2x),dx = tfrac12tan(2x)
Aplicando integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
I1 = xcdot12tan(2x) -integral 12tan(2x),dx =x2tan(2x) -12integral tan(2x),dx

Passo 4

Calculamos agora
integral tan(2x),dx
Como ddxl(lnlvertcos(2x)rvertr) =-2tan(2x), temos
integral tan(2x),dx =-12lnllvertcos(2x)rrvert
Logo
I1 =x2tan(2x) -12l(-12lnlvertcos(2x)rvertr) =x2tan(2x) +14lnlvertcos(2x)rvert

Passo 5

Voltando à integral original, temos
integral x,tan^2(2x),dx =I1-integral x,dx =x2tan(2x) +14lnlvertcos(2x)rvert -x^22+C

Resposta

integral x,tan^2(2x),dx =x2tan(2x) +14lnllvertcos(2x)rrvert -x^22+C

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