Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C} x^{2} y \sqrt{z} d z \quad C: x=t, \quad y=t, \quad z= t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{C} x^{2} y \sqrt{z}\,dz
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t,\qquad y=t,\qquad z=t^{2},\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar em termos de x,y,z é x^{2}y\sqrt{z}.
  • A diferencial é dz (apenas diferencial em z).
  • A curva está parametrizada por t no intervalo [0,1].
    A pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha acima ao longo de C?

Passo 2

Como essa é uma integral de linha com diferencial dz, a estratégia é parametrizar a função e a diferencial em termos de t. Regra usada: se z=z(t) é parte da parametrização, então
dz = z'(t)\,dt.
Portanto a integral de linha se transforma em uma integral em t:
\int_{C} x^{2} y \sqrt{z}\,dz = \int_{t=0}^{t=1} \bigl(x(t)^{2}y(t)\sqrt{z(t)}\bigr)\,z'(t)\,dt.
Explico por que: a diferencial dz representa a variação infinitesimal de z ao longo da curva; ao escrever z como função de t, a variação dz é dada pela derivada de z em relação a t vezes dt.

Passo 3

Calculo z'(t) e escrevo dz em função de dt. Como z(t)=t^{2},
z'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t,
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dz = 2t\,dt.

Passo 4

Agora avalio a função x^{2}y\sqrt{z} ao longo da curva, substituindo x(t)=t, y(t)=t, z(t)=t^{2}. Tenho
x(t)^{2}y(t)\sqrt{z(t)} = t^{2}\cdot t\cdot\sqrt{t^{2}}.
Observação importante sobre \sqrt{t^{2}}: em geral \sqrt{t^{2}}=|t|. Como o intervalo é 0\le t\le 1, tem-se |t|=t. Portanto
t^{2}\cdot t\cdot\sqrt{t^{2}} = t^{2}\cdot t\cdot t = t^{4}.

Passo 5

Multiplico a função parametrizada pela expressão de dz para obter o integrando em t:
\bigl(x(t)^{2}y(t)\sqrt{z(t)}\bigr)\,z'(t) = t^{4}\cdot (2t) = 2t^{5}.
Assim a integral de linha virou a integral de Riemann
\int_{0}^{1} 2t^{5}\,dt.

Passo 6

Calculo a integral usando a regra da primitiva para potências: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.
Aplicando com n=5,
\int_{0}^{1} 2t^{5}\,dt = 2\int_{0}^{1} t^{5}\,dt = 2\left[\frac{t^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1^{6}-0^{6}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Resumo e checagem rápida: parametrizamos a integral com t, tratamos \sqrt{t^{2}} corretamente como t no intervalo dado, transformamos dz em 2t\,dt, obtivemos integrando 2t^{5} e integramos com a regra da potência. O resultado é consistente e fácil de conferir passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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