Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar em termos de
é . - A diferencial é
(apenas diferencial em ). - A curva está parametrizada por
no intervalo .
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha acima ao longo de?
Passo 2
Como essa é uma integral de linha com diferencial
, a estratégia é parametrizar a função e a diferencial em termos de
. Regra usada: se
é parte da parametrização, então
Portanto a integral de linha se transforma em uma integral em
:
Explico por que: a diferencial
representa a variação infinitesimal de
ao longo da curva; ao escrever
como função de
, a variação
é dada pela derivada de
em relação a
vezes
.
Passo 3
Calculo
e escrevo
em função de
. Como
,
logo
Passo 4
Agora avalio a função
ao longo da curva, substituindo
,
,
. Tenho
Observação importante sobre
: em geral
. Como o intervalo é
, tem-se
. Portanto
Passo 5
Multiplico a função parametrizada pela expressão de
para obter o integrando em
:
Assim a integral de linha virou a integral de Riemann
Passo 6
Calculo a integral usando a regra da primitiva para potências: para
,
Aplicando com
,
Passo 7
Resumo e checagem rápida: parametrizamos a integral com
, tratamos
corretamente como
no intervalo dado, transformamos
em
, obtivemos integrando
e integramos com a regra da potência. O resultado é consistente e fácil de conferir passo a passo.