Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral no plano complexo pra resolver usando a Fórmula Integral de Cauchy. O enunciado pede pra calcular a integral de $ \frac{z \cos z}{z - i} $ ao longo do contorno $ |z| = 2 $, que é um círculo de raio 2 no sentido anti-horário. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender a Fórmula de Cauchy, identificar se o ponto $ z = i $ está dentro do contorno e aplicar a fórmula direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Fórmula de Cauchy. Se a função $ f(z) $ é analítica (ou seja, bem comportada) dentro e sobre o contorno fechado $ C $, e $ a $ é um ponto dentro de $ C $, então:
Aqui, nossa função $ f(z) $ é $ z \cos z $ e $ a = i $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se o ponto $ z = i $ está dentro do contorno $ |z| = 2 $. Calculando a magnitude de $ i $:
Como $ 1 < 2 $, o ponto $ i $ está dentro do nosso contorno. Isso significa que podemos aplicar a Fórmula de Cauchy sem problemas.
Passo 4
Aplicando a Fórmula de Cauchy, temos:
Onde $ f(i) = i \cos i $.
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ \cos i $. Sabemos que, para números complexos, $ \cos z $ pode ser expresso usando a função cosseno hiperbólico:
Portanto:
Passo 6
Substituindo $ f(i) $ na expressão da integral:
Sabemos que $ i \cdot i = i^2 = -1 $, então:
Resposta
A integral vale $ -2\pi \cosh(1) $.