Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z|=2 z cos zz-i d z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral no plano complexo pra resolver usando a Fórmula Integral de Cauchy. O enunciado pede pra calcular a integral de $ \frac{z \cos z}{z - i} $ ao longo do contorno $ |z| = 2 $, que é um círculo de raio 2 no sentido anti-horário. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender a Fórmula de Cauchy, identificar se o ponto $ z = i $ está dentro do contorno e aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Fórmula de Cauchy. Se a função $ f(z) $ é analítica (ou seja, bem comportada) dentro e sobre o contorno fechado $ C $, e $ a $ é um ponto dentro de $ C $, então:
f(z)
Aqui, nossa função $ f(z) $ é $ z \cos z $ e $ a = i $.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o ponto $ z = i $ está dentro do contorno $ |z| = 2 $. Calculando a magnitude de $ i $:
z = i
Como $ 1 < 2 $, o ponto $ i $ está dentro do nosso contorno. Isso significa que podemos aplicar a Fórmula de Cauchy sem problemas.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Cauchy, temos:
oint|z|=2 z cos zz - i dz = 2pi i cdot f(i)
Onde $ f(i) = i \cos i $.

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ \cos i $. Sabemos que, para números complexos, $ \cos z $ pode ser expresso usando a função cosseno hiperbólico:
cos i
Portanto:
cos z

Passo 6

Substituindo $ f(i) $ na expressão da integral:
f(i)
Sabemos que $ i \cdot i = i^2 = -1 $, então:
oint|z|=2 z cos zz - i dz = 2pi i cdot i cosh(1)

Resposta

A integral vale $ -2\pi \cosh(1) $.

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