Use a Fórmula de Taylor para
na origem, para encontrar aproximações quadráticas de
próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se
e
em cada item.
;
Passo 1
Nesse exercício, a gente quer aproximar a função
perto da origem usando o polinômio de Taylor de grau 2 e estimar o erro quando
e
. Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de ordem até 2 em
e do Teorema do Resto de Taylor multivariado.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de
em
:
Em
temos
,
e
.
Passo 3
Forme o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora estimamos o resto de ordem 3 pelo Teorema de Taylor com forma de Lagrange. As derivadas de terceira ordem não nulas são
O resto fica
para algum
entre 0 e
.
Passo 5
Como
, temos
. Logo
Resposta
A aproximação quadrática em torno da origem é
e o erro satisfaz