Use a Fórmula de Taylor para f(x, y) na origem, para encontrar aproximações quadráticas de f próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se |x| <= 0,1 e |y| <= 0,1 em cada item.
f(x, y)=e^y;

Passo 1

Nesse exercício, a gente quer aproximar a função f(x,y)=e^y perto da origem usando o polinômio de Taylor de grau 2 e estimar o erro quando |x|<=0.1 e |y|<=0.1. Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de ordem até 2 em (0,0) e do Teorema do Resto de Taylor multivariado.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f em (0,0):
f(0,0)=e^0=1,
fx(x,y)=0,
fy(x,y)=e^y,
fxx(x,y)=0,
fxy(x,y)=0,
fyy(x,y)=e^y
Em (0,0) temos fx=0, fy=1 e fyy=1.

Passo 3

Forme o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de (0,0):
P2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)
Substituindo os valores:
P2(x,y)=1+0cdot x+1cdot y+12l(0+0+1cdot y^2r)=1+y+y^22

Passo 4

Agora estimamos o resto de ordem 3 pelo Teorema de Taylor com forma de Lagrange. As derivadas de terceira ordem não nulas são
fyyy(x,y)=e^y
O resto fica
R2(x,y)=13!fyyy(0,xi),y^3
para algum xi entre 0 e y.

Passo 5

Como |y|<=0.1, temos e^xi<= e^0.1. Logo
|R2(x,y)|<=e^0.16|y|^3<=e^0.16(0.1)^3approx1.842times10^-4

Resposta

A aproximação quadrática em torno da origem é
P2(x,y)=1+y+tfracy^22,
e o erro satisfaz
|R2(x,y)|<=e^0.16(0.1)^3approx1.84times10^-4(para |x|,|y|<=0.1)

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