Use a fórmula de Taylor com resto integral para calcular:
sin (89^circ) com precisão de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular sin(89^circ) com precisão de quatro casas decimais usando a fórmula de Taylor com resto integral. Note que
sin(89^circ)=cos(1^circ)
Então vamos expandir cos x em torno de 0 até a ordem 4 e usar o resto na forma integral para controlar o erro.

Passo 2

Convertemos 1^circ para radianos. Como
1^circ = pi180,
definimos
h = pi180approx 0,0174533

Passo 3

A expansão de Taylor de ordem 4 para f(x)=cos x em torno de 0 é
cos h = f(0) + f'(0),h + f''(0)2!,h^2 + f^(3)(0)3!,h^3 + f^(4)(0)4!,h^4 + R4(h)
Como
f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-1, f^(3)(0)=0, f^(4)(0)=1,
ficamos com
cos h = 1 - h^22! + h^44! + R4(h),
onde o resto integral é
R4(h) = integral0^h (h - t)^44!,f^(5)(t),dt = -integral0^h (h - t)^424,sin t,dt
Para estimar o erro, usamos lvertsin trvert<=1, logo
lvert R4(h)rvert <= integral0^lvert hrvert(lvert hrvert - t)^424,dt = lvert hrvert^5120

Passo 4

Calculamos agora numericamente os termos até a ordem 4:
h approx 0,0174533, h^2 approx 0,00030462, h^4 approx 9,2787times10^-8
Então
1 - h^22 = 1 - 0,00015231 = 0,99984769,
h^424 approx 9,2787times10^-824 approx 3,8669times10^-9
Somando,
cos h approx 0,99984769 + 0,00000000387 = 0,9998476939ldots
e o resto tem cota
h^5120 approx (0,0174533)^5120 approx 1,3times10^-11,
muito menor que 5times10^-5, garantindo as quatro casas decimais.

Passo 5

Portanto
sin(89^circ)=cos(1^circ)approx 0,99984769ldots
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos

Resposta

sin(89^circ)approx 0,9998

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