Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sistemas lineares. Vamos precisar entender como encontrar soluções gerais para sistemas de equações que envolvem derivadas de funções. Basicamente, vamos separar o problema em partes mais simples para achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Nossa meta é encontrar funções $ x(t) $ e $ y(t) $ que satisfaçam essas equações.
Passo 3
Vamos reorganizar o sistema para ficar na forma:
Onde:
Passo 4
Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea ($ \mathbf{B} = 0 $):
Para isso, precisamos achar os autovalores ($ \lambda $) do matriz $ A $. Isso é feito resolvendo o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Então, os autovalores são $ \lambda_1 = 0 $ e $ \lambda_2 = 1 $.
Passo 5
Com os autovalores, agora encontramos os autovetores correspondentes.
Para $ \lambda_1 = 0 $:
Resolvemos $ (A - 0I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso reduz para $ 3v_1 - 3v_2 = 0 $ ⇒ $ v_1 = v_2 $. Podemos escolher $ \mathbf{v}_1 =
$.
Para $ \lambda_2 = 1 $:
Resolvemos $ (A - I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso dá $ 2v_1 - 3v_2 = 0 $ ⇒ $ v_1 = \frac{3}{2}v_2 $. Podemos escolher $ \mathbf{v}_2 =
$.
Passo 6
Agora, a solução geral da homogênea é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ \mathbf{X}_p $) para o sistema completo usando a variação de parâmetros. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Substituindo na equação original:
Vamos montar o sistema para $ u(t) $ e $ v(t) $:
Passo 8
Para simplificar, usamos a matriz das soluções homogêneas:
Calculamos a matriz inversa de $ \Phi(t) $:
Passo 9
Usamos a fórmula da variação de parâmetros:
Multiplicando $ \Phi^{-1}(t) $ pela $ \mathbf{B} $:
Passo 10
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração:
Passo 11
Multiplicando pela matriz $ \Phi(t) $:
Simplificando as multiplicações:
Passo 12
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas com condições iniciais.