Use o método da transformada de Laplace para calcular
para a matriz de coeficientes.
b)
b)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando o método da transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e matrizes de coeficientes. Para resolver isso usando a transformada de Laplace, vamos precisar entender como aplicar a transformada na equação matricial e então calcular a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação matricial da forma $ \mathbf{X}^{\prime} = \mathbf{A} \mathbf{X} $ é dada por:
Onde $ e^{\mathbf{A} t} $ é a matriz exponencial que queremos encontrar. Para calculá-la usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada na equação diferencial.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação $ \mathbf{X}^{\prime} = \mathbf{A} \mathbf{X} $, temos:
Aqui, $ \mathbf{X}(s) $ é a transformada de Laplace de $ \mathbf{X}(t) $, e $ s $ é a variável na frequência complexa.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar $ \mathbf{X}(s) $:
Onde $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade. Para encontrar $ \mathbf{X}(s) $, precisamos inverter a matriz $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $. Primeiro, subtraímos $ \mathbf{A} $ de $ s \mathbf{I} $:
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Agora, encontraremos a inversa de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $. A fórmula para a inversa de uma matriz $
$ é:
Aplicando isso:
Passo 7
Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, usamos a relação entre a transformada de Laplace e a matriz exponencial:
Isso significa que precisamos calcular a transformada inversa de Laplace de cada elemento da matriz inversa que encontramos.
Passo 8
Antes de aplicar a transformada inversa, vamos decompor a fração em partes parciais. O denominador $ s^2 - 5s + 6 $ pode ser fatorado:
Então, reescrevemos cada elemento da matriz como:
Vamos resolver para $ A, B, C, D, E, F, G, H $.
Passo 9
Resolvendo para cada elemento:
Para $ \frac{s-1}{(s-2)(s-3)} $:
Escolhendo $ s=3 $:
Escolhendo $ s=2 $:
Portanto:
Para $ \frac{-2}{(s-2)(s-3)} $:
Escolhendo $ s=3 $:
Escolhendo $ s=2 $:
Portanto:
Para $ \frac{1}{(s-2)(s-3)} $:
Escolhendo $ s=3 $:
Escolhendo $ s=2 $:
Portanto:
Para $ \frac{s-4}{(s-2)(s-3)} $:
Escolhendo $ s=3 $:
Escolhendo $ s=2 $:
Portanto:
Passo 10
Agora, substituímos essas decomposições na matriz inversa:
Com as frações parciais, temos:
Passo 11
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada elemento da matriz. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é dada por: