Use o método da transformada de Laplace para calcular e^A t para a matriz de coeficientes.
b) X^prime=(cc4 & -2 1 & 1) X

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando o método da transformada de Laplace. A equação que temos é:
e^A t
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e matrizes de coeficientes. Para resolver isso usando a transformada de Laplace, vamos precisar entender como aplicar a transformada na equação matricial e então calcular a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação matricial da forma $ \mathbf{X}^{\prime} = \mathbf{A} \mathbf{X} $ é dada por:
X^prime = A X
Onde $ e^{\mathbf{A} t} $ é a matriz exponencial que queremos encontrar. Para calculá-la usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada na equação diferencial.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação $ \mathbf{X}^{\prime} = \mathbf{A} \mathbf{X} $, temos:
X^prime = A X
Aqui, $ \mathbf{X}(s) $ é a transformada de Laplace de $ \mathbf{X}(t) $, e $ s $ é a variável na frequência complexa.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar $ \mathbf{X}(s) $:
X(s)
Onde $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade. Para encontrar $ \mathbf{X}(s) $, precisamos inverter a matriz $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $:
(s I - A) X(s) = X(0)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $. Primeiro, subtraímos $ \mathbf{A} $ de $ s \mathbf{I} $:
(s I - A)^-1
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
A

Passo 6

Agora, encontraremos a inversa de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $. A fórmula para a inversa de uma matriz $ s I - A $ é:
a & b c & d
Aplicando isso:
1ad - bc d & -b -c & a

Passo 7

Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, usamos a relação entre a transformada de Laplace e a matriz exponencial:
e^A t
Isso significa que precisamos calcular a transformada inversa de Laplace de cada elemento da matriz inversa que encontramos.

Passo 8

Antes de aplicar a transformada inversa, vamos decompor a fração em partes parciais. O denominador $ s^2 - 5s + 6 $ pode ser fatorado:
s^2 - 5s + 6
Então, reescrevemos cada elemento da matriz como:
s^2 - 5s + 6 = (s-2)(s-3)
s-1(s-2)(s-3) = As-2 + Bs-3
-2(s-2)(s-3) = Cs-2 + Ds-3
1(s-2)(s-3) = Es-2 + Fs-3
Vamos resolver para $ A, B, C, D, E, F, G, H $.

Passo 9

Resolvendo para cada elemento:
Para $ \frac{s-1}{(s-2)(s-3)} $:
s-1(s-2)(s-3)
Escolhendo $ s=3 $:
s-1 = A(s-3) + B(s-2)
Escolhendo $ s=2 $:
s=3
Portanto:
3-1 = A(0) + B(1) Rightarrow B=2
Para $ \frac{-2}{(s-2)(s-3)} $:
s=2
Escolhendo $ s=3 $:
2-1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A= -1
Escolhendo $ s=2 $:
s-1(s-2)(s-3) = -1s-2 + 2s-3
Portanto:
-2(s-2)(s-3)
Para $ \frac{1}{(s-2)(s-3)} $:
-2 = C(s-3) + D(s-2)
Escolhendo $ s=3 $:
s=3
Escolhendo $ s=2 $:
-2 = C(0) + D(1) Rightarrow D= -2
Portanto:
s=2
Para $ \frac{s-4}{(s-2)(s-3)} $:
-2 = C(-1) + D(0) Rightarrow C=2
Escolhendo $ s=3 $:
-2(s-2)(s-3) = 2s-2 + -2s-3
Escolhendo $ s=2 $:
1(s-2)(s-3)
Portanto:
1 = E(s-3) + F(s-2)

Passo 10

Agora, substituímos essas decomposições na matriz inversa:
(s I - A)^-1 = 1(s-2)(s-3) s-1 & -2 1 & s-4
Com as frações parciais, temos:
= -1s-2 + 2s-3 & 2s-2 + -2s-3 -1s-2 + 1s-3 & 2s-2 + -1s-3

Passo 11

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada elemento da matriz. Sabemos que:
L^-1 1s-a = e^a t
Aplicando isso:
e^A t = -e^2 t + 2 e^3 t & 2 e^2 t - 2 e^3 t -e^2 t + e^3 t & 2 e^2 t - e^3 t

Resposta

A matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é dada por:
e^A t

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