Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule , onde é sucessivamente dado por:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um sistema de equações diferenciais do tipo dotx = A x e calcular e^A t, onde A é uma matriz dada. Isso envolve entender sistemas de equações diferenciais e como calcular a exponencial de uma matriz. Pra resolver, a gente vai precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz A, diagonalizar A se possível e, por fim, calcular e^A t.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A. Pra isso, a gente resolve o polinômio característico det(A - lambda I) = 0.
Resolvendo essa determinante, encontramos o polinômio característico:
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0
Fatorando, descobrimos que os autovalores são:
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 2:
Resolvendo (A - 2I)x = 0, encontramos que o autovetor é 1 1 1 .
Para lambda = -1:
Resolvendo (A + I)x = 0, o autovetor é 1 1 0 .
Para lambda = -2:
Resolvendo (A + 2I)x = 0, o autovetor é 0 1 1 .
Passo 4
Como temos três autovalores distintos, a matriz A é diagonalizável. Ou seja, podemos escrever A = P D P^-1, onde D é a matriz diagonal com os autovalores e P é a matriz cujas colunas são os autovetores de A.