Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é sucessivamente dado por:
5) (rrr2 & -3 & 3 4 & -5 & 3 4 & -4 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um sistema de equações diferenciais do tipo dotx = A x e calcular e^A t, onde A é uma matriz dada. Isso envolve entender sistemas de equações diferenciais e como calcular a exponencial de uma matriz. Pra resolver, a gente vai precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz A, diagonalizar A se possível e, por fim, calcular e^A t.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A. Pra isso, a gente resolve o polinômio característico det(A - lambda I) = 0.
A matriz A é:
A = 2 & -3 & 3 4 & -5 & 3 4 & -4 & 2
Calculando o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = 2-lambda & -3 & 3 4 & -5-lambda & 3 4 & -4 & 2-lambda = 0
Resolvendo essa determinante, encontramos o polinômio característico:
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0
Fatorando, descobrimos que os autovalores são:
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 2:
Resolvendo (A - 2I)x = 0, encontramos que o autovetor é 1 1 1 .
Para lambda = -1:
Resolvendo (A + I)x = 0, o autovetor é 1 1 0 .
Para lambda = -2:
Resolvendo (A + 2I)x = 0, o autovetor é 0 1 1 .

Passo 4

Como temos três autovalores distintos, a matriz A é diagonalizável. Ou seja, podemos escrever A = P D P^-1, onde D é a matriz diagonal com os autovalores e P é a matriz cujas colunas são os autovetores de A.
Montando P e D:
P = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2
Calculamos a inversa de P, P^-1, e então podemos escrever:
e^A t = P e^D t P^-1
onde e^D t é a matriz diagonal com e^lambdai t nos elementos diagonais.

Passo 5

Vamos agora multiplicar tudo para encontrar e^A t:
  1. Calculamos P e^D t:
P e^D t = e^2t & e^-t & 0 e^2t & e^-t & e^-2t e^2t & 0 & e^-2t
  1. Multiplicamos o resultado por P^-1:
e^A t = e^2t & -e^2t + e^-t & 0 e^2t - e^-2t & -e^2t + e^-t & 0 e^2t - e^-2t & -e^2t & 0

Resposta

A exponencial da matriz A t é dada por:
e^A t = e^2t & -e^2t + e^-t & 0 e^2t - e^-2t & -e^2t + e^-t & 0 e^2t - e^-2t & -e^2t & 0

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