Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
d) X^prime=(cc2 & -1 4 & 1) X+binomsen 2 t2 cos 2 t e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema diferencial dado. Isso envolve trabalhar com sistemas lineares de equações diferenciais e aplicar técnicas específicas para resolver equações não homogêneas. Vamos precisar de conhecimentos sobre sistemas lineares, auto valores e auto vetores, além da própria técnica de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema que temos:
X^prime = 2 & -1 4 & 1 X + sin(2t) 2 cos(2t) e^2t
Aqui, X é o vetor solução que queremos encontrar, e a parte à direita da equação é a parte não homogênea do sistema.

Passo 3

Para resolver esse sistema, seguimos dois passos principais:
  1. Resolver o sistema homogêneo associado ( X^prime = AX).
  2. Encontrar uma solução particular do sistema original usando a variação de parâmetros.
Vamos começar pelo sistema homogêneo.

Passo 4

Primeiro, encontramos os autovalores ( lambda) da matriz A = 2 & -1 4 & 1 . Para isso, resolvemos o determinante:
det(A - lambda I) = 0
Calculando:
det 2 - lambda & -1 4 & 1 - lambda = (2 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(4) = 0
Simplificando:
(2 - lambda)(1 - lambda) + 4 = 0 (2 cdot 1 - 2lambda - lambda cdot 1 + lambda^2) + 4 = 0 lambda^2 - 3lambda + 2 + 4 = 0 lambda^2 - 3lambda + 6 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 3 pm raiz9 - 242 = 3 pm raiz-152 = 32 pm raiz152i
Então, os autovalores são complexos: lambda = 32 pm raiz152i.

Passo 6

Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema homogêneo é:
Xh(t) = e^32t [ C1 cos(raiz152 t) + C2 sin(raiz152 t) ]
Aqui, C1 e C2 são vetores constantes que determinam a combinação linear das soluções.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( Xp(t)) do sistema não homogêneo usando a variação de parâmetros. A ideia é que essa solução particular tenha a mesma forma da parte não homogênea, mas com coeficientes que variam com o tempo.
A parte não homogênea é:
F(t) = sin(2t) 2 cos(2t) e^2t

Passo 8

Assumimos que a solução particular tem a forma:
Xp(t) = u(t) e^2t
Onde u(t) é um vetor função que vamos determinar.

Passo 9

Derivando Xp(t):
Xp'(t) = u'(t) e^2t + 2 u(t) e^2t
Substituindo na equação original:
u'(t) e^2t + 2 u(t) e^2t = A u(t) e^2t + F(t)
Simplificando:
u'(t) e^2t = F(t)
Então:
u'(t) = sin(2t) 2 cos(2t)

Passo 10

Integrando ambos os lados para encontrar u(t):
u(t) = integral sin(2t) 2 cos(2t) dt = -12 cos(2t) + C1 sin(2t) + C2
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração ( C1 e C2).

Passo 11

Portanto, a solução particular é:
Xp(t) = -12 cos(2t) sin(2t) e^2t

Passo 12

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t)
Substituindo:
X(t) = e^32t [ C1 cos(raiz152 t) + C2 sin(raiz152 t) ] + -12 cos(2t) sin(2t) e^2t

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = e^32t [ C1 cos(raiz152 t) + C2 sin(raiz152 t) ] + -12 cos(2t) sin(2t) e^2t
Onde C1 e C2 são vetores constantes determinados pelas condições iniciais do sistema.

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