Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema diferencial dado. Isso envolve trabalhar com sistemas lineares de equações diferenciais e aplicar técnicas específicas para resolver equações não homogêneas. Vamos precisar de conhecimentos sobre sistemas lineares, auto valores e auto vetores, além da própria técnica de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema que temos:
Aqui,
é o vetor solução que queremos encontrar, e a parte à direita da equação é a parte não homogênea do sistema.
Passo 3
Para resolver esse sistema, seguimos dois passos principais:
- Resolver o sistema homogêneo associado (
). - Encontrar uma solução particular do sistema original usando a variação de parâmetros.
Vamos começar pelo sistema homogêneo.
Passo 4
Primeiro, encontramos os autovalores (
) da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são complexos:
.
Passo 6
Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema homogêneo é:
Aqui,
e
são vetores constantes que determinam a combinação linear das soluções.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) do sistema não homogêneo usando a variação de parâmetros. A ideia é que essa solução particular tenha a mesma forma da parte não homogênea, mas com coeficientes que variam com o tempo.
A parte não homogênea é:
Passo 8
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
é um vetor função que vamos determinar.
Passo 9
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 10
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração (
e
).
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são vetores constantes determinados pelas condições iniciais do sistema.