Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
X^prime=(lll1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3) X+binome^te^2 t t e^3 t

Passo 1

O enunciado pede usar variação de parâmetros para resolver o sistema não-homogêneo de 3 equações lineares. O conteúdo é sistemas lineares não-homogêneos e vamos precisar: encontrar a matriz fundamental Phi(t) do sistema homogêneo X'=AX, inverter Phi(t), calcular Phi^-1(t)g(t), integrar cada componente e montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, resolvemos o sistema homogêneo X'=AX. Observando que A é bloco-diagonal com um bloco 2×2 e um bloco 1×1, encontramos para o bloco 2×2 duas soluções independentes (1,1)e^2t e (1,-1), e para o terceiro componente a solução (0,0,e^3t). Assim, a matriz fundamental fica:
Phi(t)=e^2t&1&0[4pt]e^2t&-1&0[4pt]0&0&e^3t

Passo 3

Em seguida, calculamos Phi^-1(t) de forma bloco a bloco, e multiplicamos pelo termo não-homogêneo g(t)=(e^t,e^2t,t e^3t). O resultado é:
Phi^-1(t),g(t)= tfrac12e^-t+tfrac12[6pt]tfrace^t-e^2t2[6pt]t

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros calculando as funções wi(t)=integral (Phi^-1g)i,dt. Integramos cada componente:
w1(t)=-tfrac12e^-t+tfrac12t, w2(t)=tfrac12e^t-tfrac14e^2t, w3(t)=tfrac12t^2

Passo 5

A solução particular é Xp(t)=Phi(t),w(t). Multiplicando e simplificando, obtemos:
x1p(t)=tfrac2t-14e^2t, x2p(t)=tfrac2t+14e^2t-e^t, x3p(t)=tfract^22e^3t

Passo 6

Por fim, a solução geral do sistema é a soma da homogênea e da particular:
X(t)=C1e^2te^2t0+C21-10+C300e^3t+tfrac2t-14e^2t[4pt]tfrac2t+14e^2t-e^t[4pt]tfract^22e^3t, onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t)=C_1 e^2te^2t0+C_2 1-10+C_3 00e^3t+ dfrac2t-14e^2t[4pt]dfrac2t+14e^2t-e^t[4pt]dfract^22e^3t

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