Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
Passo 1
O enunciado pede usar variação de parâmetros para resolver o sistema não-homogêneo de 3 equações lineares. O conteúdo é sistemas lineares não-homogêneos e vamos precisar: encontrar a matriz fundamental Phi(t) do sistema homogêneo X'=AX, inverter Phi(t), calcular Phi^-1(t)g(t), integrar cada componente e montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, resolvemos o sistema homogêneo X'=AX. Observando que A é bloco-diagonal com um bloco 2×2 e um bloco 1×1, encontramos para o bloco 2×2 duas soluções independentes (1,1)e^2t e (1,-1), e para o terceiro componente a solução (0,0,e^3t). Assim, a matriz fundamental fica:
Phi(t)=e^2t&1&0[4pt]e^2t&-1&0[4pt]0&0&e^3t
Passo 3
Em seguida, calculamos Phi^-1(t) de forma bloco a bloco, e multiplicamos pelo termo não-homogêneo g(t)=(e^t,e^2t,t e^3t). O resultado é: