Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral e^2 x sin (x) d x

Passo 1

Enunciado: calcular integral e^2xsin(x),dx usando integração por partes. O conteúdo envolve o método de integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para a primeira aplicação de partes: u = sin(x) e dv = e^2x,dx. Então temos du = cos(x),dx e v = integral e^2x,dx = e^2x2. Aplicando a fórmula:
integral e^2xsin(x),dx = e^2xsin(x)2 - 12integral e^2xcos(x),dx

Passo 3

Para calcular integral e^2xcos(x),dx, aplicamos partes de novo: tomo u = cos(x) e dv = e^2x,dx. Assim du = -sin(x),dx e v = e^2x2. Logo:
integral e^2xcos(x),dx = e^2xcos(x)2 + 12integral e^2xsin(x),dx

Passo 4

Agora definimos I = integral e^2xsin(x),dx. Substituindo a expressão de integral e^2xcos(x),dx no resultado do primeiro passo, obtemos:
I = e^2xsin(x)2 - 12l(e^2xcos(x)2 + 12Ir)
Desenvolvendo e reunindo termos semelhantes:
I + 14I = e^2xsin(x)2 - e^2xcos(x)4,
ou seja 54I = e^2xsin(x)2 - e^2xcos(x)4.

Passo 5

Isolando I:
I = 45l(e^2xsin(x)2 - e^2xcos(x)4r) = e^2x5l(2sin(x) - cos(x)r) + C
Acrescentamos a constante de integração C.

Resposta

e^2x5l(2sin(x) - cos(x)r) + C

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