8- Use as fórmulas deduzidas do Teorema de Green para encontrar a área da ciclóide de equações
.
Passo 1
O enunciado pede a área de um arco da ciclóide dada por
para
. Vamos usar o Teorema de Green na forma
onde
é o contorno fechado que consiste na curva da ciclóide de
a
mais o segmento de reta no eixo
retornando a
.
Passo 2
Escolhemos a orientação anti-horária de
. Sobre o segmento de reta de
de volta a
temos
, de modo que
Portanto só precisamos integrar ao longo da ciclóide de
a
.
Passo 3
Parametrizando o trecho ciclóide em
, temos
Assim
Passo 4
Escrevendo o integrando
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Somando, o integral interior vale
Passo 6
Substituindo em
.
O sinal negativo vem da orientação, mas a área em valor absoluto é .
O sinal negativo vem da orientação, mas a área em valor absoluto é