8- Use as fórmulas deduzidas do Teorema de Green para encontrar a área da ciclóide de equações x=t-sint ; y=1-cost.

Passo 1

O enunciado pede a área de um arco da ciclóide dada por
x(t)=t-sin t, y(t)=1-cos t,
para 0<= t<=2pi. Vamos usar o Teorema de Green na forma
Área=12ointCl(x,dy - y,dxr), Á
onde C é o contorno fechado que consiste na curva da ciclóide de t=0 a t=2pi mais o segmento de reta no eixo x retornando a (0,0).

Passo 2

Escolhemos a orientação anti-horária de C. Sobre o segmento de reta de (2pi,0) de volta a (0,0) temos y=0, de modo que
x,dy - y,dx = xcdot0 - 0cdot dx = 0
Portanto só precisamos integrar ao longo da ciclóide de t=0 a 2pi.

Passo 3

Parametrizando o trecho ciclóide em t, temos
dx = x'(t),dt = l(1-cos tr),dt, dy = y'(t),dt = sin t,dt
Assim
x,dy - y,dx = l(t-sin tr)sin t,dt ;-;l(1-cos tr)l(1-cos tr),dt

Passo 4

Escrevendo o integrando
(t-sin t)sin t - (1-cos t)^2 = tsin t - sin^2 t -l(1-2cos t+cos^2 tr) = tsin t - sin^2 t -1 +2cos t -cos^2 t
Logo
Área =12integral0^2pil[tsin t - sin^2 t -1 +2cos t -cos^2 tr],dt Á

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^2pitsin t,dt = -2pi, integral0^2pisin^2 t,dt = pi, integral0^2picos^2 t,dt = pi, integral0^2picos t,dt = 0, integral0^2pi1,dt = 2pi
Somando, o integral interior vale
-2pi - pi - 2pi + 0 - pi = -6pi

Passo 6

Substituindo em
Área=tfrac12(-6pi)=-3piÁ.
O sinal negativo vem da orientação, mas a área em valor absoluto é 3pi.

Resposta

A área de um arco da ciclóide é 3pi áóé

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