Use as fórmulas de reduçăio do Exercicio 58 para calcular as integrais.
\int \operatorname{sec} ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}^4 x \, dx.
Como envolve potência de \operatorname{sec} x, vamos usar a fórmula de redução para \displaystyle \int \operatorname{sec}^n x\,dx.

Passo 2

A fórmula de redução geral é
I_n = \int \operatorname{sec}^n x \, dx = \frac{\operatorname{sec}^{n-2} x \,\tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\,I_{n-2}.
Substituindo n=4, obtemos
I_4 = \int \operatorname{sec}^4 x \, dx = \frac{\operatorname{sec}^2 x \,\tan x}{3} + \frac{2}{3}\,I_2.

Passo 3

Agora calculamos
I_2 = \int \operatorname{sec}^2 x \, dx.
Como \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x, concluímos
I_2 = \tan x.

Passo 4

Voltando a I_4 e substituindo I_2, fica
I_4 = \frac{\operatorname{sec}^2 x \,\tan x}{3} + \frac{2}{3}\,\tan x + C.

Resposta

\int \operatorname{sec}^4 x \, dx = \frac{\operatorname{sec}^2 x \,\tan x}{3} + \frac{2}{3}\,\tan x + C.

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