Calcule a integral.
\int_{\sqrt{6}}^{\pi} \frac{\ln x}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\sqrt{6}}^{\pi}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos um produto envolvendo \ln x e x^{-2}.

Passo 2

Escolhemos em \int u\,dv
u = \ln x,\quad dv = x^{-2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int \frac{\ln x}{x^{2}}\,dx = \ln x\!\left(-\frac{1}{x}\right) - \int \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^{2}}\,dx.
E
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}.
Logo uma antiderivada é
-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} = -\frac{\ln x + 1}{x}.

Passo 4

Avaliaremos de x=\sqrt{6} até x=\pi:
\left[-\frac{\ln x + 1}{x}\right]_{\sqrt{6}}^{\pi} = -\frac{\ln\pi + 1}{\pi} \;-\;\Bigl(-\frac{\ln(\sqrt{6}) + 1}{\sqrt{6}}\Bigr).
Como \ln(\sqrt{6})=\tfrac12\ln6, isso fica
-\frac{\ln\pi + 1}{\pi} +\frac{\tfrac12\ln6 + 1}{\sqrt{6}}.

Resposta

\frac{\tfrac12\ln6 + 1}{\sqrt{6}} - \frac{\ln\pi + 1}{\pi}.

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