Calcule a integral.
\int_{0}^{2} \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{2} \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é aplicar integração por partes e depois reduzir uma integral racional simples.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes:
u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, \quad v = x.
Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
I = \bigl[x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Avaliaremos primeiro o termo de fronteira:
\bigl[x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr]_{0}^{2} = 2\,\ln(2^{2}+1) - 0 = 2\,\ln(5).
E sobra a integral
\int_{0}^{2} x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = 2\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx, escrevemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}.
Logo,
\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int_{0}^{2}1\,dx - \int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = 2 - \bigl[\arctan(x)\bigr]_{0}^{2} = 2 - \arctan(2).

Passo 5

Agora voltamos a I:
I = 2\ln(5) \;-\; 2\bigl(2 - \arctan(2)\bigr) = 2\ln(5) - 4 + 2\,\arctan(2).

Resposta

\int_{0}^{2} \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = 2\,\arctan(2) \;+\; 2\,\ln(5)\;-\;4.

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