Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=z(z+1)(z-2), 1<|z|<2

Passo 1

A questão pede para expandir a função f(z)=z(z+1)(z-2) em série de Laurent válida no anel 1<|z|<2. Vamos usar frações parciais e depois desenvolver cada termo por séries geométricas apropriadas às condições |z|>1 e |z|<2.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais: escrevemos
z(z+1)(z-2)=Az+1+Bz-2
Multiplicando por (z+1)(z-2) obtemos
z=A(z-2)+B(z+1)=(A+B)z+(-2A+B)

Passo 3

Igualando coeficientes:
A+B=1, -2A+B=0 Rightarrow B=2A,;3A=1,;A=tfrac13,;B=tfrac23

Passo 4

Logo
f(z)=131z+1+231z-2

Passo 5

Agora expandimos cada termo em série geométrica.
Para |z|>1,
1z+1=1z11+1z=1zsumn=0^infty(-1)^n1z^n=sumn=0^infty(-1)^n z^-n-1

Passo 6

Para |z|<2,
1z-2=-1211-z2=-12sumn=0^inftyl(z2r)^n=-sumn=0^inftyz^n2^n+1

Passo 7

Como o anel de convergência é 1<|z|<2, podemos somar as duas séries:
f(z)=13sumn=0^infty(-1)^n z^-n-1+23l(-sumn=0^inftyz^n2^n+1r)

Resposta

f(z)=13sumn=0^infty(-1)^n z^-n-1-13sumn=0^inftyz^n2^n,1<|z|<2

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