Use funções integrais para calcular o valor: arctan (0.5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular arctan(0.5) usando funções integrais, ou seja, vamos aproveitar a definição integral da função arco-tangente e técnicas de expansão em série para obter uma aproximação numérica. O conteúdo envolve noções de cálculo integral, série de potências e estimativa de erro.

Passo 2

Primeiro, lembramos que pela definição da função inversa da tangente temos a representação integral
arctan(x)=integral0^x11+t^2,dt
Este resultado vem do teorema fundamental do cálculo aplicado à derivada de arctan(x), que é 1/(1+x^2).

Passo 3

Como |t|<1 para todo t em [0,0.5], podemos usar a série de potências
11+t^2=sumk=0^infty(-1)^kt^2k
Integrando termo a termo de 0 a x, obtemos
arctan(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+12k+1 .

Passo 4

Agora substituímos x=0.5 na série e calculamos os primeiros termos até alcançar precisão da ordem de 10^-6:
&k=0: 0.5^11=0.5000000, &k=1: -0.5^33=-0.0416667, &k=2: +0.5^55=0.0062500, &k=3: -0.5^77=-0.0011161, &k=4: +0.5^99=0.0002170, &k=5: -0.5^1111=-0.0000444
Somando esses seis primeiros termos, obtemos aproximadamente 0.4636476.

Passo 5

Podemos estimar o erro pelo próximo termo em módulo, que é 0.5^1313approx9.4times10^-6, garantindo que nosso valor de 0.4636476 está correto com erro menor que 10^-5.

Resposta

0.4636476

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