Use funções integrais para calcular o valor:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando funções integrais, ou seja, vamos aproveitar a definição integral da função arco-tangente e técnicas de expansão em série para obter uma aproximação numérica. O conteúdo envolve noções de cálculo integral, série de potências e estimativa de erro.
Passo 2
Primeiro, lembramos que pela definição da função inversa da tangente temos a representação integral
Este resultado vem do teorema fundamental do cálculo aplicado à derivada de
, que é
.
Passo 3
Como
para todo
em
, podemos usar a série de potências
Integrando termo a termo de 0 a
, obtemos
Passo 4
Agora substituímos
na série e calculamos os primeiros termos até alcançar precisão da ordem de
:
Somando esses seis primeiros termos, obtemos aproximadamente
.
Passo 5
Podemos estimar o erro pelo próximo termo em módulo, que é
, garantindo que nosso valor de
está correto com erro menor que
.
Resposta
0.4636476