(e) Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use De e De como as incertezas De e De. O princípio de incerteza é cumprido?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar as médias já calculadas nos itens anteriores (isto é, ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨p⟩ e ⟨p²⟩) para achar as incertezas
Δx = √(⟨x²⟩ – ⟨x⟩²)
Δp = √(⟨p²⟩ – ⟨p⟩²)
e depois calcular o produto Δx·Δp e ver se ele satisfaz o princípio de incerteza de Heisenberg (Δx·Δp ≥ ħ/2). O assunto aqui é mecânica quântica, expectativa de operadores e incerteza.

Passo 2

Vamos lembrar o que a gente já achou nos passos anteriores (assumindo o poço infinito de largura L e estado n-ésimo):
  1. ⟨x⟩ = L/2
  2. ⟨x²⟩ = L² (1/3 – 1/(2 n²π²))
  3. ⟨p⟩ = 0
  4. ⟨p²⟩ = (n² π² ħ²) / L²
Se essas não forem exatamente as suas, troque pelos valores que você tem.

Passo 3

Agora calculamos Δx:
De
Fazendo a conta dentro da raiz:
De

Passo 4

E Δp:
De

Passo 5

O produto é
De
Se a gente olhar o caso fundamental n=1, fica
De
que é maior do que ħ/2 ≃ 0,5 ħ.

Resposta

Δx·Δp =
npihbar ,raiztfrac112 - tfrac12n^2pi^2
Em particular, para n=1, Δx·Δp ≃ 0,568 ħ > ħ/2, logo o princípio de incerteza de Heisenberg é cumprido.

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