(e) Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use e De como as incertezas De e De. O princípio de incerteza é cumprido?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente usar as médias já calculadas nos itens anteriores (isto é, ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨p⟩ e ⟨p²⟩) para achar as incertezas
Δx = √(⟨x²⟩ – ⟨x⟩²)
Δp = √(⟨p²⟩ – ⟨p⟩²)
e depois calcular o produto Δx·Δp e ver se ele satisfaz o princípio de incerteza de Heisenberg (Δx·Δp ≥ ħ/2). O assunto aqui é mecânica quântica, expectativa de operadores e incerteza.
Passo 2
Vamos lembrar o que a gente já achou nos passos anteriores (assumindo o poço infinito de largura L e estado n-ésimo):
⟨x⟩ = L/2
⟨x²⟩ = L² (1/3 – 1/(2 n²π²))
⟨p⟩ = 0
⟨p²⟩ = (n² π² ħ²) / L²
Se essas não forem exatamente as suas, troque pelos valores que você tem.
Passo 3
Agora calculamos Δx:
De
Fazendo a conta dentro da raiz:
De
Passo 4
E Δp:
De
Passo 5
O produto é
De
Se a gente olhar o caso fundamental n=1, fica
De
que é maior do que ħ/2 ≃ 0,5 ħ.
Resposta
Δx·Δp =
npihbar ,raiztfrac112 - tfrac12n^2pi^2
Em particular, para n=1, Δx·Δp ≃ 0,568 ħ > ħ/2, logo o princípio de incerteza de Heisenberg é cumprido.