Observação útil sobre simetria (muito usada para simplificar cálculos): verificar paridade de f.
Para todo x, \cos(-x)=\cos x, logo |\cos(-x)|=|\cos x|. Portanto f é uma função par.
Consequência prática: todos os coeficientes de seno b_n serão zero, porque b_n envolve a integral de uma função par multiplicada por \sin(nx) (ímpar), dando integral zero. Assim só precisamos calcular a_0 e a_n (os coeficientes de cosseno).
Também lembro as fórmulas dos coeficientes (para período 2\pi):
Primeiro escrever \int_{0}^{\pi}|\cos x|\,dx. Note que em [0,\pi] a função \cos x é positiva em [0,\tfrac{\pi}{2}) e negativa em (\tfrac{\pi}{2},\pi]. Então
(Detalhe curto: a combinação das integrais 0\to\pi/2 e \pi/2\to\pi leva a 2\sin(k\pi/2)/k para cada k, e o fator \tfrac{1}{2} do produto-para-soma cancela o 2.)
Observe que \sin\!\bigl(m\pi/2\bigr) vale 0 quando m é par, e alterna \pm1 quando m é ímpar:
Se m=4q ou m=2q par, \sin(m\pi/2)=0.
Se m=4q+1, \sin(m\pi/2)=1.
Se m=4q+3, \sin(m\pi/2)=-1.
Agora separar casos para n:
Se n é ímpar, n=2m+1. Então n+1=2m+2 e n-1=2m são pares, logo \sin de ambos é zero. Assim a_n=0 para todo n ímpar.
Se n é par, n=2m. Então n+1=2m+1 e n-1=2m-1 são ímpares. Usa-se \sin\!\bigl((2m+1)\pi/2\bigr)=(-1)^m e \sin\!\bigl((2m-1)\pi/2\bigr)=(-1)^{m-1}=-(-1)^m. Substituindo,