Ache a série de Fourier para f(x)=|\cos x| \mathrm{em}(-\pi, \pi) de período 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Fourier (de período 2\pi) da função f(x)=|\cos x| definida em (- \pi,\pi).
Informações dadas e o que se quer:
  • Função: f(x)=|\cos x|.
  • Domínio considerado: (- \pi,\pi) e extensão periódica de período 2\pi.
  • Objetivo: determinar a expansão em série de Fourier usual
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
isto é, calcular a_0, a_n e b_n.

Passo 2

Observação útil sobre simetria (muito usada para simplificar cálculos): verificar paridade de f.
  • Para todo x, \cos(-x)=\cos x, logo |\cos(-x)|=|\cos x|. Portanto f é uma função par.
  • Consequência prática: todos os coeficientes de seno b_n serão zero, porque b_n envolve a integral de uma função par multiplicada por \sin(nx) (ímpar), dando integral zero. Assim só precisamos calcular a_0 e a_n (os coeficientes de cosseno).
Também lembro as fórmulas dos coeficientes (para período 2\pi):
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f é par, estas podem ser escritas como
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=0.

Passo 3

Calcular a_0.
Primeiro escrever \int_{0}^{\pi}|\cos x|\,dx. Note que em [0,\pi] a função \cos x é positiva em [0,\tfrac{\pi}{2}) e negativa em (\tfrac{\pi}{2},\pi]. Então
\int_{0}^{\pi}|\cos x|\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(-\cos x)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}=1-0=1,
\int_{\pi/2}^{\pi}(-\cos x)\,dx=-\sin x\Big|_{\pi/2}^{\pi}=-(0-1)=1.
Logo \int_{0}^{\pi}|\cos x|\,dx=1+1=2.
Portanto
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot 2=\frac{4}{\pi}.
No desenvolvimento da série o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{2}{\pi}.

Passo 4

Verificar b_n.
Como f é par, e \sin(nx) é ímpar, o produto f(x)\sin(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero. Assim
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 5

Calcular a_n. Usamos a fórmula para funções pares:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}|\cos x|\cos(nx)\,dx.
Novamente usamos a quebra em [0,\pi/2] e [\pi/2,\pi]:
\int_{0}^{\pi}|\cos x|\cos(nx)\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(nx)\,dx -\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\cos(nx)\,dx.
Para integrar o produto de cossenos, uso a identidade produto-para-soma
\cos x\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)\bigr),
que é útil porque integra \cos(kx) facilmente. Assim, chamando
I=\int_{0}^{\pi}|\cos x|\cos(nx)\,dx,
temos
I=\tfrac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\cos((n+1)x)\,dx+\int_{0}^{\pi/2}\cos((n-1)x)\,dx -\int_{\pi/2}^{\pi}\cos((n+1)x)\,dx-\int_{\pi/2}^{\pi}\cos((n-1)x)\,dx\Bigr].
Cada integral de \cos(kx) é \sin(kx)/k. Fazendo as contas de forma agrupada (para k=n\pm1) chega-se à simplificação
I=\sum_{k\in\{n+1,n-1\}}\frac{\;2\sin\!\bigl(\tfrac{k\pi}{2}\bigr)\;}{2k} =\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(n+1)\pi}{2}\bigr)}{n+1}+\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(n-1)\pi}{2}\bigr)}{n-1}.
(Detalhe curto: a combinação das integrais 0\to\pi/2 e \pi/2\to\pi leva a 2\sin(k\pi/2)/k para cada k, e o fator \tfrac{1}{2} do produto-para-soma cancela o 2.)
Portanto
a_n=\frac{2}{\pi}\Biggl(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(n+1)\pi}{2}\bigr)}{n+1}+\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{(n-1)\pi}{2}\bigr)}{n-1}\Biggr).

Passo 6

Simplificar a_n por paridade de n.
Observe que \sin\!\bigl(m\pi/2\bigr) vale 0 quando m é par, e alterna \pm1 quando m é ímpar:
  • Se m=4q ou m=2q par, \sin(m\pi/2)=0.
  • Se m=4q+1, \sin(m\pi/2)=1.
  • Se m=4q+3, \sin(m\pi/2)=-1.
Agora separar casos para n:
  • Se n é ímpar, n=2m+1. Então n+1=2m+2 e n-1=2m são pares, logo \sin de ambos é zero. Assim a_n=0 para todo n ímpar.
  • Se n é par, n=2m. Então n+1=2m+1 e n-1=2m-1 são ímpares. Usa-se \sin\!\bigl((2m+1)\pi/2\bigr)=(-1)^m e \sin\!\bigl((2m-1)\pi/2\bigr)=(-1)^{m-1}=-(-1)^m. Substituindo,
a_{2m}=\frac{2}{\pi}\Biggl(\frac{(-1)^m}{2m+1}+\frac{-(-1)^m}{2m-1}\Biggr) =\frac{2}{\pi}(-1)^m\Biggl(\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m-1}\Biggr).
A diferença de frações pode ser simplificada:
\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m-1}=\frac{(2m-1)-(2m+1)}{(2m+1)(2m-1)}=\frac{-2}{4m^2-1}.
Assim
a_{2m}=\frac{2}{\pi}(-1)^m\cdot\frac{-2}{4m^2-1}=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{m+1}}{4m^2-1}.
Recapitulando:
a_n=\begin{cases} 0, & \text{se }n\text{ é ímpar},\\[6pt] \displaystyle \frac{4}{\pi}\,\dfrac{(-1)^{m+1}}{4m^2-1}, & \text{se }n=2m\text{ (par)}. \end{cases}éí]

Passo 7

Escrever a série de Fourier final.
Como b_n=0 e apenas termos de cosseno pares aparecem, e lembrando \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{2}{\pi}, a série é
|\cos x|=\frac{2}{\pi}+\sum_{m=1}^{\infty} a_{2m}\cos(2m x) =\frac{2}{\pi}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{m+1}}{4m^2-1}\cos(2m x).
Podemos fatorar \dfrac{4}{\pi} se preferir, obtendo uma forma compacta.

Resposta

|\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{4m^{2}-1}\cos(2m x).

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