escrever a expansão de f periódica de período 2\pi contendo apenas termos com cossenos (ou seja, a expansão correspondente à extensão par de f em (-\pi,\pi));
escrever a expansão de f periódica de período 2\pi contendo apenas termos com senos (ou seja, a expansão correspondente à extensão ímpar de f em (-\pi,\pi));
além disso, a partir dessas expansões deduzir as duas somas:
Informações relevantes que usarei (retidas do enunciado):
f(x)=x(\pi-x) para 0<x<\pi;
procuramos duas séries de Fourier de período 2\pi: uma com só cossenos (extensão par) e outra com só senos (extensão ímpar).
Passo 2
Breve explicação sobre séries de Fourier (fórmulas e convenções que vou usar).
Para uma função periódica de período 2\pi e integrável em [-\pi,\pi], a série de Fourier geral é
Vou aplicar essas fórmulas com f(t)=t(\pi-t) no intervalo 0<t<\pi. Aqui explicito que todos os integrandos e variáveis estarão em TeX nas fórmulas seguintes.
Passo 3
Cálculo dos coeficientes para a expansão com apenas cossenos (extensão par).
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} t^{2}\cos(nt)\,dt.
Integração por partes duas vezes (mostro o resultado passo a passo):
Primeira integração por partes: u=t^{2},\\ dv=\cos(nt)\,dt\Rightarrow v=\frac{\sin(nt)}{n}: