Expreesse f(x)=x(\pi-x), 0<x<\pi como uma série de Fourier de periodicidade 2 \pi contendo
  • termos somente com cossenos.
  • termos somente com senos e
Deduza que
\begin{aligned} & 1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{7^{3}}+\ldots=\frac{\pi^{3}}{32} \\ & 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\ldots=\frac{\pi^{2}}{12} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida em 0<x<\pi por
f(x)=x(\pi-x),
e pede duas coisas:
  • escrever a expansão de f periódica de período 2\pi contendo apenas termos com cossenos (ou seja, a expansão correspondente à extensão par de f em (-\pi,\pi));
  • escrever a expansão de f periódica de período 2\pi contendo apenas termos com senos (ou seja, a expansão correspondente à extensão ímpar de f em (-\pi,\pi));
    além disso, a partir dessas expansões deduzir as duas somas:
1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{7^{3}}+\ldots \qquad\text{e}\qquad 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\ldots
Informações relevantes que usarei (retidas do enunciado):
  • f(x)=x(\pi-x) para 0<x<\pi;
  • procuramos duas séries de Fourier de período 2\pi: uma com só cossenos (extensão par) e outra com só senos (extensão ímpar).

Passo 2

Breve explicação sobre séries de Fourier (fórmulas e convenções que vou usar).
Para uma função periódica de período 2\pi e integrável em [-\pi,\pi], a série de Fourier geral é
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx\bigr),
onde os coeficientes são
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.
Se fazemos a extensão par de f (isto é, f(-x)=f(x)), então b_{n}=0 e
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt.
Se fazemos a extensão ímpar de f (isto é, f(-x)=-f(x)), então a_{n}=0 e
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.
Vou aplicar essas fórmulas com f(t)=t(\pi-t) no intervalo 0<t<\pi. Aqui explicito que todos os integrandos e variáveis estarão em TeX nas fórmulas seguintes.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes para a expansão com apenas cossenos (extensão par).
Primeiro o coeficiente constante a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t(\pi-t)\,dt.
Calculo da integral:
\int_{0}^{\pi} t(\pi-t)\,dt=\int_{0}^{\pi}(\pi t - t^{2})\,dt = \pi\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi}-\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} = \pi\cdot\frac{\pi^{2}}{2}-\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{\pi^{3}}{6}.
Logo
a_{0}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{6}=\frac{\pi^{2}}{3},
e o termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{\pi^{2}}{6}.
Agora o coeficiente a_{n} (para n\ge 1):
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t(\pi-t)\cos(nt)\,dt.
Vou avaliar a integral \displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\pi} t(\pi-t)\cos(nt)\,dt.
Expanda t(\pi-t)=\pi t - t^{2}, então
I_{n}=\pi\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt-\int_{0}^{\pi} t^{2}\cos(nt)\,dt.
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt.
Integração por partes: \displaystyle u=t,\\ dv=\cos(nt)\,dt\Rightarrow du=dt,\\ v=\frac{\sin(nt)}{n}.
\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt=\Bigl[\frac{t\sin(nt)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nt)}{n}\,dt =\frac{1}{n^{2}}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr) =\frac{1}{n^{2}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} t^{2}\cos(nt)\,dt.
Integração por partes duas vezes (mostro o resultado passo a passo):
Primeira integração por partes: u=t^{2},\\ dv=\cos(nt)\,dt\Rightarrow v=\frac{\sin(nt)}{n}:
\int t^{2}\cos(nt)\,dt=\frac{t^{2}\sin(nt)}{n}-\frac{2}{n}\int t\sin(nt)\,dt.
Agora \displaystyle \int t\sin(nt)\,dt por partes: u=t,\\ dv=\sin(nt)\,dt\Rightarrow v=-\frac{\cos(nt)}{n},
\int t\sin(nt)\,dt=-\frac{t\cos(nt)}{n}+\frac{1}{n}\int \cos(nt)\,dt =-\frac{t\cos(nt)}{n}+\frac{\sin(nt)}{n^{2}}.
Substituindo e avaliando de 0 a \pi, os termos com \sin(n\pi) e \sin 0 desaparecem, restando
\int_{0}^{\pi} t^{2}\cos(nt)\,dt=\left.\frac{2t\cos(nt)}{n^{2}}\right|_{0}^{\pi} =\frac{2\pi}{n^{2}}(-1)^{n}.
Agora volte a I_{n}:
I_{n}=\pi\cdot\frac{1}{n^{2}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr)-\frac{2\pi}{n^{2}}(-1)^{n} = -\frac{\pi}{n^{2}}\bigl(1+(-1)^{n}\bigr).
Portanto
a_{n}=\frac{2}{\pi}I_{n}=-\frac{2}{n^{2}}\bigl(1+(-1)^{n}\bigr).
Isto mostra que a_{n}=0 para n ímpar e, para n par, escrecendo n=2k,
a_{2k}=-\frac{2}{(2k)^{2}}\bigl(1+1\bigr)=-\frac{4}{(2k)^{2}}=-\frac{1}{k^{2}}.
Assim a série com apenas cossenos (extensão par) é, para 0<x<\pi,
x(\pi-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\cos(2kx).

Passo 4

Cálculo dos coeficientes para a expansão com apenas senos (extensão ímpar).
Para extensão ímpar temos a_{n}=0 e
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t(\pi-t)\sin(nt)\,dt.
Defina \displaystyle J_{n}=\int_{0}^{\pi} t(\pi-t)\sin(nt)\,dt=\pi\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt - \int_{0}^{\pi} t^{2}\sin(nt)\,dt.
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt.
Integração por partes: u=t,\\ dv=\sin(nt)\,dt\Rightarrow v=-\frac{\cos(nt)}{n},
\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt=\Bigl[-\frac{t\cos(nt)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt =-\frac{\pi}{n}(-1)^{n}.
(Observou-se que \int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt=0 para n\ge 1.)
Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} t^{2}\sin(nt)\,dt.
Integração por partes: u=t^{2},\\ dv=\sin(nt)\,dt\Rightarrow v=-\frac{\cos(nt)}{n},
\int_{0}^{\pi} t^{2}\sin(nt)\,dt=\Bigl[-\frac{t^{2}\cos(nt)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt.
Já calculamos \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt=\frac{1}{n^{2}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr). Assim
\int_{0}^{\pi} t^{2}\sin(nt)\,dt=-\frac{\pi^{2}}{n}(-1)^{n}+\frac{2}{n^{3}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Agora volte a J_{n}:
J_{n}=\pi\Bigl(-\frac{\pi}{n}(-1)^{n}\Bigr)-\Bigl(-\frac{\pi^{2}}{n}(-1)^{n}+\frac{2}{n^{3}}((-1)^{n}-1)\Bigr) = -\frac{2}{n^{3}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Reescrevendo,
J_{n}=\frac{2}{n^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Logo
b_{n}=\frac{2}{\pi}J_{n}=\frac{4}{\pi n^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Isto significa que b_{n}=0 para n par e, para n ímpar, n=2k+1,
b_{2k+1}=\frac{4}{\pi(2k+1)^{3}}\cdot 2=\frac{8}{\pi(2k+1)^{3}}.
Portanto a série com apenas senos (extensão ímpar) é, para 0<x<\pi,
x(\pi-x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{\pi(2k+1)^{3}}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Passo 5

Agora uso as duas séries para obter as somas solicitadas.
(a) Série envolvendo somente os ímpares ao cubo (primeira soma):
Avalie a série de senos no ponto x=\dfrac{\pi}{2}. À esquerda,
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\Bigl(\pi-\frac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{\pi^{2}}{4}.
À direita, na série de senos,
\sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^{k},
portanto
\frac{\pi^{2}}{4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{\pi(2k+1)^{3}}(-1)^{k} =\frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{3}}.
Isolando a soma obtém-se
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}.
Escrevendo a soma em notação usual dos ímpares:
1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{7^{3}}+\cdots=\frac{\pi^{3}}{32}.
(b) Série alternada dos inversos dos quadrados (segunda soma):
Use a série com cossenos e avalie em x=\dfrac{\pi}{2}. Pela série de cossenos,
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{6}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\cos\bigl(2k\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{\pi^{2}}{6}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}(-1)^{k}.
Mas já calculamos f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi^{2}}{4}. Assim
\frac{\pi^{2}}{4}=\frac{\pi^{2}}{6}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}.
Rearranjando,
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi^{2}}{4}=-\frac{\pi^{2}}{12}.
Multiplicando por -1 dá a soma com sinais iniciando positivos:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{2}}= \frac{\pi^{2}}{12},
ou seja
1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{12}.

Resposta

1-\frac{1}{3{3}}+\frac{1}{5{3}}-\frac{1}{7{3}}+\ldots=\frac{\pi{3}}{32}
1-\frac{1}{2{2}}+\frac{1}{3{2}}-\frac{1}{4{2}}+\ldots=\frac{\pi{2}}{12}

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