Use uma identidade trigonométrica como auxilio para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar uma solução particular da equação (isto é, uma função
que satisfaça a igualdade para todo
). Informação relevante: o segundo membro é
.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o termo do lado direito. A identidade padrão para o quadrado do seno é
Essa identidade transforma um termo quadrático em seno numa combinação de termos constantes e cosseno de frequência dobrada — isso facilita resolver a equação.
Passo 3
Aplicando a identidade ao lado direito (peguei o valor
do enunciado):
Logo a equação fica equivalente a
Passo 4
Como a equação é linear e o lado direito é soma de duas funções (
e
), podemos procurar uma solução particular como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo separado. Primeiro procure uma solução particular
para o termo constante
.
Proponho
(uma constante). Explicação: a derivada de uma constante é zero, então esta é a tentativa mais simples para forçar um termo constante no lado esquerdo.
Substituindo em
:
Portanto
Passo 5
Agora procure uma solução particular
para o termo
. Método: tentar uma combinação de
e
com coeficientes indeterminados,
Motivação didática: quando o lado direito é uma função trigonométrica de frequência
(aqui
), é natural tentar uma combinação dessas mesmas funções; isso funciona desde que essa frequência não coincida com as frequências da solução homogênea. A solução homogênea da equação
tem frequências
(funções
e
), portanto não há ressonância com
e a tentativa acima é válida.
Passo 6
Calcule as derivadas de
. A segunda derivada de
é
e a de
é
. Assim
Somando
obtemos
Passo 7
Impor que
iguale o termo do lado direito correspondente, que é
. Assim
Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 8
A solução particular para a equação inteira é a soma das partes:
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcule
. Como
e
, tem-se
que é exatamente o lado direito obtido no Passo 3, confirmando que
é correta.