Use uma identidade trigonométrica como auxilio para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada.
\ddot{x}+x=8 \operatorname{sen}^{2} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\ddot{x}+x=8\,\operatorname{sen}^{2}t
e pede para encontrar uma solução particular da equação (isto é, uma função x_p(t) que satisfaça a igualdade para todo t). Informação relevante: o segundo membro é 8\,\operatorname{sen}^{2}t.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o termo do lado direito. A identidade padrão para o quadrado do seno é
\operatorname{sen}^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
Essa identidade transforma um termo quadrático em seno numa combinação de termos constantes e cosseno de frequência dobrada — isso facilita resolver a equação.

Passo 3

Aplicando a identidade ao lado direito (peguei o valor \operatorname{sen}^{2}t do enunciado):
8\,\operatorname{sen}^{2}t=8\cdot\frac{1-\cos 2t}{2}=4-4\cos 2t.
Logo a equação fica equivalente a
\ddot{x}+x=4-4\cos 2t.

Passo 4

Como a equação é linear e o lado direito é soma de duas funções ( 4 e -4\cos 2t), podemos procurar uma solução particular como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo separado. Primeiro procure uma solução particular x_{p1} para o termo constante 4.
Proponho x_{p1}=A (uma constante). Explicação: a derivada de uma constante é zero, então esta é a tentativa mais simples para forçar um termo constante no lado esquerdo.
Substituindo em \ddot{x}+x=4:
0 + A = 4 \quad\Rightarrow\quad A=4.
Portanto
x_{p1}=4.

Passo 5

Agora procure uma solução particular x_{p2} para o termo -4\cos 2t. Método: tentar uma combinação de \cos 2t e \sin 2t com coeficientes indeterminados,
x_{p2}=B\cos 2t + C\sin 2t.
Motivação didática: quando o lado direito é uma função trigonométrica de frequência \omega (aqui \omega=2), é natural tentar uma combinação dessas mesmas funções; isso funciona desde que essa frequência não coincida com as frequências da solução homogênea. A solução homogênea da equação \ddot x+x=0 tem frequências \omega=1 (funções \cos t e \sin t), portanto não há ressonância com \omega=2 e a tentativa acima é válida.

Passo 6

Calcule as derivadas de x_{p2}. A segunda derivada de \cos 2t é -4\cos 2t e a de \sin 2t é -4\sin 2t. Assim
\ddot{x}_{p2} = -4B\cos 2t - 4C\sin 2t.
Somando \ddot{x}_{p2}+x_{p2} obtemos
\ddot{x}_{p2}+x_{p2}=(-4B+B)\cos 2t + (-4C+C)\sin 2t = -3B\cos 2t -3C\sin 2t.

Passo 7

Impor que \ddot{x}_{p2}+x_{p2} iguale o termo do lado direito correspondente, que é -4\cos 2t. Assim
-3B\cos 2t -3C\sin 2t = -4\cos 2t + 0\cdot\sin 2t.
Igualando coeficientes:
-3B=-4 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{4}{3},
-3C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
x_{p2}=\frac{4}{3}\cos 2t.

Passo 8

A solução particular para a equação inteira é a soma das partes:
x_p(t)=x_{p1}+x_{p2}=4+\frac{4}{3}\cos 2t.
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcule \ddot{x}_p. Como \ddot{4}=0 e \ddot{\left(\tfrac{4}{3}\cos 2t\right)}=-\tfrac{16}{3}\cos 2t, tem-se
\ddot{x}_p + x_p = -\frac{16}{3}\cos 2t + 4 + \frac{4}{3}\cos 2t = 4 - 4\cos 2t,
que é exatamente o lado direito obtido no Passo 3, confirmando que x_p é correta.

Resposta

x_p(t)=4+\dfrac{4}{3}\cos 2t

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