Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Aqui
é função de
(isto é,
),
e
. A informação relevante é que temos uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo constante igual a
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
A técnica padrão é tentar uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
Essa é uma equação quadrática em
. Para resolver, fatoramos:
portanto as raízes são
e
.
Passo 3
Como as raízes da característica são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais. Isto representa todas as soluções da parte homogênea do problema.
Passo 4
Agora a parte didática sobre o método dos coeficientes indeterminados (a receita prática):
- A ideia é adivinhar (chutar) uma forma para uma solução particular
cujo tipo dependa do termo do lado direito da equação não-homogênea. - Regras comuns:
- Se o lado direito é uma constante (polinômio de grau
), tentar constante: . - Se o lado direito é um polinômio de grau
, tentar um polinômio de grau com coeficientes desconhecidos. - Se for
, tentar . - Se for
ou , tentar .
- Se o lado direito é uma constante (polinômio de grau
- Importante: se a forma escolhida para
coincide com uma solução da homogênea (ou seja, se a mesma função aparece em ), então multiplica-se o chute por , onde é o menor inteiro positivo que evita a coincidência (isto é, normalmente se houver coincidência simples, se for raiz dupla, etc.). Isso evita “ressonância” com a homogênea.
Passo 5
Aplicando a receita ao nosso caso: o termo não-homogêneo é a constante
. Pelo item acima, tentamos um particular constante
onde
é um número a determinar. Antes de substituir, verificamos ressonância: isso aconteceria se
(ou seja, função constante) já estivesse na solução homogênea. Para checar, avaliamos a característica em
:
portanto
não é raiz e não há ressonância. Ou seja,
é uma escolha válida (não precisamos multiplicar por
).
Passo 6
Calculemos as derivadas de
e substituamos na equação:
Substituindo em
obtemos
Logo
Passo 7
A solução particular encontrada é
. A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas se fossem dadas condições iniciais. Parabéns — acabamos! Se na prova pedirem uma solução com condições iniciais, basta substituir
e
iniciais e resolver o sistema linear para
.