Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}+3 \dot{x}+2 x=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\ddot{x}+3\dot{x}+2x=6,
usando o método dos coeficientes indeterminados. Aqui x é função de t (isto é, x=x(t)), \dot{x}=\dfrac{dx}{dt} e \ddot{x}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. A informação relevante é que temos uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo constante igual a 6.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
\ddot{x}+3\dot{x}+2x=0.
A técnica padrão é tentar uma solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}+3r+2=0.
Essa é uma equação quadrática em r. Para resolver, fatoramos:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
portanto as raízes são r=-1 e r=-2.

Passo 3

Como as raízes da característica são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais. Isto representa todas as soluções da parte homogênea do problema.

Passo 4

Agora a parte didática sobre o método dos coeficientes indeterminados (a receita prática):
  • A ideia é adivinhar (chutar) uma forma para uma solução particular x_{p}(t) cujo tipo dependa do termo do lado direito da equação não-homogênea.
  • Regras comuns:
    • Se o lado direito é uma constante (polinômio de grau 0), tentar x_{p} constante: x_{p}=A.
    • Se o lado direito é um polinômio de grau n, tentar um polinômio de grau n com coeficientes desconhecidos.
    • Se for e^{\alpha t}, tentar Ae^{\alpha t}.
    • Se for \sin(\beta t) ou \cos(\beta t), tentar A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t).
  • Importante: se a forma escolhida para x_{p} coincide com uma solução da homogênea (ou seja, se a mesma função aparece em x_{h}), então multiplica-se o chute por t^{s}, onde s é o menor inteiro positivo que evita a coincidência (isto é, normalmente s=1 se houver coincidência simples, s=2 se for raiz dupla, etc.). Isso evita “ressonância” com a homogênea.

Passo 5

Aplicando a receita ao nosso caso: o termo não-homogêneo é a constante 6. Pelo item acima, tentamos um particular constante
x_{p}(t)=A,
onde A é um número a determinar. Antes de substituir, verificamos ressonância: isso aconteceria se e^{0\cdot t}=1 (ou seja, função constante) já estivesse na solução homogênea. Para checar, avaliamos a característica em r=0:
0^{2}+3\cdot0+2=2\neq0,
portanto r=0 não é raiz e não há ressonância. Ou seja, x_p=A é uma escolha válida (não precisamos multiplicar por t).

Passo 6

Calculemos as derivadas de x_{p} e substituamos na equação:
\dot{x}_{p}=0,\qquad \ddot{x}_{p}=0.
Substituindo em \ddot{x}+3\dot{x}+2x=6 obtemos
0+3\cdot 0 + 2A = 6.
Logo
2A=6 \quad\Rightarrow\quad A=3.

Passo 7

A solução particular encontrada é x_{p}(t)=3. A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}+3,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que seriam determinadas se fossem dadas condições iniciais. Parabéns — acabamos! Se na prova pedirem uma solução com condições iniciais, basta substituir t e x,\dot{x} iniciais e resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}.

Resposta

x(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}+3

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