Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a transformada de Laplace de
x(t)=e{-2t}u(t)+e{-3t}u(t), além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. O conteúdo é transformada de Laplace de sinais exponenciais causais e usaremos a definição e a propriedade da linearidade.
x(t)=e{-2t}u(t)+e{-3t}u(t), além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. O conteúdo é transformada de Laplace de sinais exponenciais causais e usaremos a definição e a propriedade da linearidade.
Passo 2
Para cada termo exponencial, aplicamos a fórmula básica
válida quando
. Assim:
Passo 3
Pela linearidade da transformada de Laplace, somamos os dois resultados:
Para simplificar em uma única fração:
Passo 4
A região de convergência do sinal total é a interseção das ROCs individuais. Temos:
A interseção é
, pois é a condição mais restritiva.
Passo 5
Para desenhar o diagrama de polos e zeros (no plano
), identificamos:
- Polos: raízes de
⇒ e . - Zero: raiz de
⇒ .
No eixo real, marcamos um “×” eme , e um “○” em .
Resposta
Transformada de Laplace:
Região de convergência:
.
Diagrama de polos e zeros: polos em e
(×), zero em
(○), todos no eixo real.
Diagrama de polos e zeros: polos em