Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(a) x(t)=e^-2 t u(t)+e^-3 t u(t)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a transformada de Laplace de
x(t)=e{-2t}u(t)+e{-3t}u(t), além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. O conteúdo é transformada de Laplace de sinais exponenciais causais e usaremos a definição e a propriedade da linearidade.

Passo 2

Para cada termo exponencial, aplicamos a fórmula básica
Le^-a tu(t)=integral0^inftye^-a te^-stdt=1s+a,
válida quando Re(s+a)>0. Assim:
Le^-2tu(t)=1s+2,ROC: Re(s)>-2,
Le^-3tu(t)=1s+3,ROC: Re(s)>-3

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace, somamos os dois resultados:
X(s)=1s+2+1s+3
Para simplificar em uma única fração:
X(s)=(s+3)+(s+2)(s+2)(s+3)=2s+5(s+2)(s+3)

Passo 4

A região de convergência do sinal total é a interseção das ROCs individuais. Temos:
Re(s)>-2eRe(s)>-3
A interseção é Re(s)>-2, pois é a condição mais restritiva.

Passo 5

Para desenhar o diagrama de polos e zeros (no plano s), identificamos:
  • Polos: raízes de (s+2)(s+3)=0 s=-2 e s=-3.
  • Zero: raiz de 2s+5=0 s=-tfrac52=-2,5.
    No eixo real, marcamos um “×” em -2 e -3, e um “○” em -2,5.

Resposta

Transformada de Laplace:
X(s)=1s+2+1s+3=2s+5(s+2)(s+3)
Região de convergência: Re(s)>-2.
Diagrama de polos e zeros: polos em s=-2 e s=-3 (×), zero em s=-2,5 (○), todos no eixo real.

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