Use integração para determinar o momento de inércia de um cilindro de massa
, raio
e comprimento
em relação ao seu eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia de um cilindro que tem massa
, raio
e comprimento
, em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática para somar infinitas pequenas partes e chegar ao todo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece para mudar seu movimento de rotação. No caso do cilindro, queremos ver como essa resistência se comporta em torno do seu eixo central.
Passo 3
Vamos considerar o cilindro como sendo formado por infinitas discos finíssimos, cada um com uma massa
. Cada um desses discos contribui para o momento de inércia total. A fórmula para o momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo central é
, onde
é o raio do disco.
Passo 4
Precisamos expressar
em termos de variáveis conhecidas. Sabemos que a densidade linear do cilindro (massa por volume) é
. Para um disco de espessura
, a massa
será
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 6
Agora, integramos
ao longo de todo o comprimento do cilindro, de
a
:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 8
A integral de
de
a
é simplesmente
, então:
Passo 9
O
no numerador e denominador se cancelam, deixando:
Resposta
O momento de inércia do cilindro em relação ao seu eixo central é: