Use integração para encontrar a área do triângulo com os vértices dados.
(0,0),(1,3),(3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um triângulo com os vértices em (0,0), (1,3) e (3,1) usando integração. Para isso, vamos precisar entender como traçar as funções que formam os lados do triângulo e depois calcular a diferença entre elas para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas que formam os lados do triângulo. Temos três pontos: A (0,0), B (1,3) e C (3,1). Vamos encontrar as equações das retas AB, BC e CA.

Passo 3

Para encontrar a equação de uma reta, usamos a fórmula da inclinação: m = y2 - y1x2 - x1. Vamos calcular para cada lado:
  • Reta AB (de A a B):
    mAB = 3 - 01 - 0 = 3
    Então, a equação é y = 3x.
  • Reta BC (de B a C):
    mBC = 1 - 33 - 1 = -22 = -1
    Usando o ponto B (1,3) na equação: y - 3 = -1(x - 1) Rightarrow y = -x + 4.
  • Reta CA (de C a A):
    mCA = 0 - 10 - 3 = -1-3 = 13
    Usando o ponto A (0,0) na equação: y = 13x.

Passo 4

Agora que temos as equações das retas:
  • Reta AB: y = 3x
  • Reta BC: y = -x + 4
  • Reta CA: y = 13x
Vamos visualizar como essas retas se comportam no gráfico para determinar quais estão por cima e por baixo em cada intervalo de x.

Passo 5

Analisando os intervalos:
  • De x = 0 a x = 1:
    • A reta AB ( y = 3x) está acima da reta CA ( y = 13x).
  • De x = 1 a x = 3:
    • A reta BC ( y = -x + 4) está acima da reta CA ( y = 13x).

Passo 6

Para encontrar a área do triângulo usando integração, vamos calcular a área entre as duas retas em cada intervalo e somar os resultados.
A área A é dada por:
A = integral0^1 (3x - 13x) dx + integral1^3 ((-x + 4) - 13x) dx

Passo 7

Vamos simplificar as integrais:
  • Primeira integral (de 0 a 1):
    3x - 13x = 83x
  • Segunda integral (de 1 a 3):
    -x + 4 - 13x = -43x + 4

Passo 8

Agora, vamos integrar cada parte:
  • Primeira integral:
    integral0^1 83x , dx = 83 cdot x^22 g|0^1 = 83 cdot 12 = 43
  • Segunda integral:
    integral1^3 (-43x + 4) dx = -43 cdot x^22 + 4x g|1^3 = (-23x^2 + 4x) g|1^3
Calculando em x=3:
-23(3)^2 + 4(3) = -23(9) + 12 = -6 + 12 = 6
Calculando em x=1:
-23(1)^2 + 4(1) = -23 + 4 = 103
A diferença:
6 - 103 = 83

Resposta

A área do triângulo é 4 unidades quadradas.

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