Encontre, se existirem, os limites das funções abaixo:
lim x 2 x+2x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função f(x)=x+2x-2 quando x se aproxima de 2. O tópico é limite de função real, e vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador junto com o sinal próximo de 2.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento do numerador e do denominador separadamente. Temos limxto2(x+2)=4, que é um número finito e positivo. Já o denominador x-2 tende a zero quando x se aproxima de 2, mas seu sinal depende de vir da direita ou da esquerda.

Passo 3

Para o limite pela direita, isto é, xto2^+, temos x-2>0 e muito pequeno. O numerador fica próximo de 4 (positivo), e o denominador é positivo e próximo de 0. Portanto x+2x-2to+infty quando xto2^+.

Passo 4

Para o limite pela esquerda, isto é, xto2^-, temos x-2<0 e em valor absoluto pequeno. O numerador continua próximo de 4 (positivo), mas o denominador é negativo e próximo de 0. Logo x+2x-2to-infty quando xto2^-.

Passo 5

Como o limite pela direita é +infty e pela esquerda é -infty, não existe um único valor (nem mesmo infinito) que ambos os lados concordem. Assim, o limite bilateral limxto2x+2x-2 não existe.

Resposta

O limite bilateral não existe; os limites laterais são:
limxto2^+x+2x-2=+infty e limxto2^-x+2x-2=-infty.

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