Use integração por partes (em alguns casos, sucessivas integrações por partes) para calcular a integral indefinida.
(j) integral x sec x tg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x,sec x,tan x,dx usando integração por partes. Vamos precisar saber que ddx(sec x)=sec xtan x e que integralsec x,dx=ln|sec x+tan x|+C.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes: u=x e dv=sec xtan x,dx. Então temos du=dx e v=sec x, pois d(sec x)/dx=sec xtan x.
Pela fórmula integral u,dv=u,v-integral v,du, obtemos:
integral x,sec x,tan x,dx = xcdotsec x - integral sec x,dx

Passo 3

Substituindo integralsec x,dx=ln|sec x+tan x|+C, concluímos:
integral x,sec x,tan x,dx = xsec x - ln|sec x+tan x| + C

Resposta

xsec x - ln|sec x+tan x| + C

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