Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\; a integral é indefinida (portanto incluiremos uma constante de integração C);
\; o integrando é \dfrac{x}{\sqrt{x+2}}, definido para \;x\ge -2 (onde \sqrt{x+2} é real);
\; precisamos fornecer uma primitiva dessa função.

Passo 2

Lembrete útil (aulas rápidas): a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são partes da integral escolhidas pelo resolvedor; du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. A ideia prática: escolha u de modo que sua derivada du seja mais simples, e escolha dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Vou escolher as partes da integral. Para
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx
uma escolha natural é
u = x,\qquad dv = \frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx = (x+2)^{-1/2}\,dx,
porque du = dx simplifica bastante e dv é fácil de integrar pela regra da potência (substituição simples). Essa escolha facilita o cálculo.

Passo 4

Calcule du e uma primitiva v de dv.
du = dx.
Para v usamos a substituição t=x+2 (ou a regra da potência direto):
v = \int (x+2)^{-1/2}\,dx = 2(x+2)^{1/2} = 2\sqrt{x+2}.
Expliquei: \int t^{n}\,dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-\tfrac12, então \dfrac{n+1}{\;}=\dfrac{1}{2} e o coeficiente resulta em 2.

Passo 5

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx = x\cdot 2\sqrt{x+2} - \int 2\sqrt{x+2}\,dx.
Ou seja,
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx = 2x\sqrt{x+2} - 2\int (x+2)^{1/2}\,dx.

Passo 6

Calcule a integral restante \int (x+2)^{1/2}\,dx usando a regra da potência:
\int (x+2)^{1/2}\,dx = \frac{(x+2)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+2)^{3/2}.
Multiplicando por 2 (do passo anterior),
2\int (x+2)^{1/2}\,dx = 2\cdot \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} = \frac{4}{3}(x+2)^{3/2}.

Passo 7

Substitua de volta no resultado obtido no Passo 5:
\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}\,dx = 2x\sqrt{x+2} - \frac{4}{3}(x+2)^{3/2} + C.
Agora vamos simplificar fatorando 2\sqrt{x+2}:
2x\sqrt{x+2} - \frac{4}{3}(x+2)^{3/2} = 2\sqrt{x+2}\left(x - \frac{2}{3}(x+2)\right).
Calcule o conteúdo do parêntese:
x - \frac{2}{3}(x+2) = x - \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} = \frac{1}{3}(x-4).
Portanto
2\sqrt{x+2}\cdot\frac{1}{3}(x-4) = \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}.

Passo 8

Verificação rápida (para te deixar seguro): derive
F(x)=\frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}
usando a regra do produto — você encontrará F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+2}}. Isso confirma que a primitiva está correta. (Fazer a derivada passo a passo é exercício útil na prova.)

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}(x-4)\sqrt{x+2}+C

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