Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede que você calcule a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
a integral é indefinida (portanto incluiremos uma constante de integração
);
o integrando é
, definido para
(onde
é real);
precisamos fornecer uma primitiva dessa função.
Passo 2
Lembrete útil (aulas rápidas): a fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são partes da integral escolhidas pelo resolvedor;
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. A ideia prática: escolha
de modo que sua derivada
seja mais simples, e escolha
que seja fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Vou escolher as partes da integral. Para
uma escolha natural é
porque
simplifica bastante e
é fácil de integrar pela regra da potência (substituição simples). Essa escolha facilita o cálculo.
Passo 4
Calcule
e uma primitiva
de
.
Para
usamos a substituição
(ou a regra da potência direto):
Expliquei:
para
. Aqui
, então
e o coeficiente resulta em
.
Passo 5
Aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Ou seja,
Passo 6
Calcule a integral restante
usando a regra da potência:
Multiplicando por
(do passo anterior),
Passo 7
Substitua de volta no resultado obtido no Passo 5:
Agora vamos simplificar fatorando
:
Calcule o conteúdo do parêntese:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida (para te deixar seguro): derive
usando a regra do produto — você encontrará
. Isso confirma que a primitiva está correta. (Fazer a derivada passo a passo é exercício útil na prova.)