Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
e queremos encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é, uma função
tal que
. Também devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
Explicando cada coisa nessa fórmula:
é uma função que escolhemos para derivar (vemos
depois),
é o resto do integrando que integramos para obter
. A ideia é escolher
de modo que
seja mais simples que
, tornando a nova integral mais fácil.
Passo 3
Escolhemos
Justificativa: derivar
dá
, o que simplifica bastante; integrar
é direto pela regra da potência.
Calculamos
e
:
onde usei a regra da potência:
para
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Colocando o fator constante para fora da integral:
Passo 5
Agora calculamos a integral restante usando novamente a regra da potência:
Substituindo:
Passo 6
Fazendo as operações constantes:
Podemos fatorar
para simplificar a aparência:
Agora simplificamos o parêntese:
, então
Portanto
Passo 7
Checagem rápida (opcional, para ter confiança): derivando
usando a regra do produto obtém-se
, então a primitiva está correta.