Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x(x+1)^{8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x(x+1)^{8}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é x(x+1)^{8} e queremos encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x(x+1)^{8}. Também devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada coisa nessa fórmula: u é uma função que escolhemos para derivar (vemos du depois), dv é o resto do integrando que integramos para obter v. A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, tornando a nova integral mais fácil.

Passo 3

Escolhemos
u = x\quad\text{e}\quad dv = (x+1)^{8}\,dx.
Justificativa: derivar x 1, o que simplifica bastante; integrar (x+1)^{8} é direto pela regra da potência.
Calculamos du e v:
du = dx,
v = \int (x+1)^{8}\,dx = \frac{(x+1)^{9}}{9},
onde usei a regra da potência: \int (x+a)^{n}\,dx = \dfrac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x(x+1)^{8}\,dx = uv - \int v\,du = x\cdot\frac{(x+1)^{9}}{9} - \int \frac{(x+1)^{9}}{9}\,dx.
Colocando o fator constante para fora da integral:
\int x(x+1)^{8}\,dx = \frac{x(x+1)^{9}}{9} - \frac{1}{9}\int (x+1)^{9}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral restante usando novamente a regra da potência:
\int (x+1)^{9}\,dx = \frac{(x+1)^{10}}{10}.
Substituindo:
\int x(x+1)^{8}\,dx = \frac{x(x+1)^{9}}{9} - \frac{1}{9}\cdot\frac{(x+1)^{10}}{10} + C.

Passo 6

Fazendo as operações constantes:
\int x(x+1)^{8}\,dx = \frac{x(x+1)^{9}}{9} - \frac{(x+1)^{10}}{90} + C.
Podemos fatorar (x+1)^{9} para simplificar a aparência:
\int x(x+1)^{8}\,dx = (x+1)^{9}\left(\frac{x}{9} - \frac{x+1}{90}\right) + C.
Agora simplificamos o parêntese: \dfrac{x}{9}=\dfrac{10x}{90}, então
\frac{10x}{90}-\frac{x+1}{90}=\frac{9x-1}{90}.
Portanto
\int x(x+1)^{8}\,dx = \frac{(9x-1)(x+1)^{9}}{90} + C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para ter confiança): derivando \dfrac{(9x-1)(x+1)^{9}}{90} usando a regra do produto obtém-se x(x+1)^{8}, então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{(9x-1)(x+1)^{9}}{90} + C

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