Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
dividida por , ou seja . - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
- O enunciado explicitamente solicita o uso da técnica de integração por partes (vou aplicar isso nas etapas seguintes).
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e explico cada termo:
Aqui:
-
é uma função escolhida para ser derivada (fica simples ao derivar). -
é o resto do integrando, escolhido para ser facilmente integrável. -
é a derivada de em relação a , ou seja . -
é uma primitiva de , isto é .
Regra prática (útil na prova): escolha
de modo que
seja mais simples que
(por exemplo polinômios), e escolha
que seja fácil de integrar.
Para a nossa integral, escolhemos
porque
fica muito simples e
é integrável por substituição.
Passo 3
Calculo
por substituição.
Faço , então
e
. Assim
Faço
Sabemos que
, portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 5
Agora calculo a integral restante
novamente por substituição
,
,
:
Sabendo que
, temos
Passo 6
Substituindo esse resultado em (4):
Posso fatorar
para simplificar:
Calculando o parêntese:
Logo uma forma mais enxuta da primitiva é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
, confirmando que a primitiva está correta. Vai com fé — você conseguiu! Dica: para integrais com um polinômio sobre raiz de uma expressão linear, muitas vezes escolher o polinômio como
e a raiz como
funciona bem.