Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int \frac{x}{\sqrt{2 x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x dividida por \sqrt{2x+1}, ou seja \dfrac{x}{(2x+1)^{1/2}}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
  • O enunciado explicitamente solicita o uso da técnica de integração por partes (vou aplicar isso nas etapas seguintes).

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e explico cada termo:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida para ser derivada (fica simples ao derivar).
  • dv é o resto do integrando, escolhido para ser facilmente integrável.
  • du é a derivada de u em relação a x, ou seja du = u'(x)\,dx.
  • v é uma primitiva de dv, isto é v = \int dv.
Regra prática (útil na prova): escolha u de modo que du seja mais simples que u (por exemplo polinômios), e escolha dv que seja fácil de integrar.
Para a nossa integral, escolhemos
u = x,\qquad dv = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\,dx = (2x+1)^{-1/2}\,dx,
porque du = dx fica muito simples e dv é integrável por substituição.

Passo 3

Calculo v=\int dv = \int (2x+1)^{-1/2}\,dx por substituição.
Faço t=2x+1, então dt=2\,dx e dx=\dfrac{dt}{2}. Assim
v = \int t^{-1/2}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.
Sabemos que \int t^{-1/2}\,dt = 2 t^{1/2}, portanto
v = \frac{1}{2}\cdot 2 t^{1/2} = t^{1/2} = (2x+1)^{1/2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=x, v=(2x+1)^{1/2} e du=dx, obtemos
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx = x(2x+1)^{1/2} - \int (2x+1)^{1/2}\,dx.

Passo 5

Agora calculo a integral restante \int (2x+1)^{1/2}\,dx novamente por substituição t=2x+1, dt=2\,dx, dx=\dfrac{dt}{2}:
\int (2x+1)^{1/2}\,dx = \int t^{1/2}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt.
Sabendo que \int t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}t^{3/2}, temos
\int (2x+1)^{1/2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2} = \frac{1}{3}t^{3/2} = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em (4):
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx = x(2x+1)^{1/2} - \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + C.
Posso fatorar (2x+1)^{1/2} para simplificar:
x(2x+1)^{1/2} - \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} = (2x+1)^{1/2}\left(x - \frac{1}{3}(2x+1)\right).
Calculando o parêntese:
x - \frac{1}{3}(2x+1) = \frac{3x - 2x -1}{3} = \frac{x-1}{3}.
Logo uma forma mais enxuta da primitiva é
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx = \frac{x-1}{3}(2x+1)^{1/2} + C = \frac{x-1}{3}\sqrt{2x+1} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando \dfrac{x-1}{3}\sqrt{2x+1} obtemos \dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}, confirmando que a primitiva está correta. Vai com fé — você conseguiu! Dica: para integrais com um polinômio sobre raiz de uma expressão linear, muitas vezes escolher o polinômio como u e a raiz como dv funciona bem.

Resposta

\displaystyle \frac{x-1}{3}\sqrt{2x+1}+C

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