Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos: é uma integral indefinida em relação a
; a integranda é
; o enunciado solicita usar integração por partes; no final devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Lembrete da fórmula de integração por partes (vou explicar como ela funciona): se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. A ideia é escolher
e
de modo que a nova integral
seja mais simples que a original.
Passo 3
Observação útil: a derivada de
gera um fator
, que aparece na integranda. Calculemos essa derivada explicitamente:
Portanto podemos escrever a integranda como
Assim
Passo 4
Agora aplicamos integração por partes à integral
. Fazemos a escolha natural
Então
Pela fórmula de partes:
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
. Esta é direta por substituição: seja
. Então
. Assim
Voltando à expressão do Passo 4:
Passo 6
Lembrando o fator
que colocamos no Passo 3, obtemos
Podemos simplificar ou reescrever a expressão. Uma forma mais compacta (fatorando
) é
Continuando a simplificação dentro do parêntese:
Portanto