Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{3}\left(x^{2}-1\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\left(x^{2}-1\right)^{10}\,dx.
Informações relevantes que temos: é uma integral indefinida em relação a x; a integranda é x^{3}(x^{2}-1)^{10}; o enunciado solicita usar integração por partes; no final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Lembrete da fórmula de integração por partes (vou explicar como ela funciona): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)\,u'(x)\,dx.
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. A ideia é escolher u e v' de modo que a nova integral \int v\,u'\,dx seja mais simples que a original.

Passo 3

Observação útil: a derivada de (x^{2}-1)^{11} gera um fator x(x^{2}-1)^{10}, que aparece na integranda. Calculemos essa derivada explicitamente:
\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big) = 11\cdot 2x\,(x^{2}-1)^{10} = 22x\,(x^{2}-1)^{10}.
Portanto podemos escrever a integranda como
x^{3}(x^{2}-1)^{10} = \frac{1}{22}\,x^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big).
Assim
\int x^{3}(x^{2}-1)^{10}\,dx = \frac{1}{22}\int x^{2}\,\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big)\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes à integral \int x^{2}\,\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big)\,dx. Fazemos a escolha natural
u(x)=x^{2}\quad\text{e}\quad v'(x)=\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big).
Então
u'(x)=2x\quad\text{e}\quad v(x)=(x^{2}-1)^{11}.
Pela fórmula de partes:
\int x^{2}\,\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big)\,dx = x^{2}(x^{2}-1)^{11} - \int (x^{2}-1)^{11}\cdot 2x\,dx.

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral \int 2x\,(x^{2}-1)^{11}\,dx. Esta é direta por substituição: seja t=x^{2}-1. Então dt=2x\,dx. Assim
\int 2x\,(x^{2}-1)^{11}\,dx = \int t^{11}\,dt = \frac{t^{12}}{12} = \frac{(x^{2}-1)^{12}}{12}.
Voltando à expressão do Passo 4:
\int x^{2}\,\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{11}\big)\,dx = x^{2}(x^{2}-1)^{11} - \frac{(x^{2}-1)^{12}}{12}.

Passo 6

Lembrando o fator \tfrac{1}{22} que colocamos no Passo 3, obtemos
\int x^{3}(x^{2}-1)^{10}\,dx = \frac{1}{22}\left(x^{2}(x^{2}-1)^{11} - \frac{(x^{2}-1)^{12}}{12}\right) + C.
Podemos simplificar ou reescrever a expressão. Uma forma mais compacta (fatorando (x^{2}-1)^{11}) é
\frac{(x^{2}-1)^{11}}{22}\left(x^{2} - \frac{x^{2}-1}{12}\right) + C.
Continuando a simplificação dentro do parêntese:
x^{2} - \frac{x^{2}-1}{12} = \frac{12x^{2} - (x^{2}-1)}{12} = \frac{11x^{2}+1}{12}.
Portanto
\int x^{3}(x^{2}-1)^{10}\,dx = \frac{(x^{2}-1)^{11}}{22}\cdot\frac{11x^{2}+1}{12} + C = \frac{(x^{2}-1)^{11}(11x^{2}+1)}{264} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(x^{2}-1)^{11}(11x^{2}+1)}{264}+C

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