Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada), isto é, uma expressão
tal que . - O enunciado pede explicitamente para usar integração por partes.
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
é uma função de que escolhemos para derivar (vai gerar ); -
é a parte restante que escolhemos para integrar (vai gerar ); -
é a derivada de em relação a , escrita como ; -
é a antiderivada de , isto é, .
A ideia é escolhere de modo que seja mais simples que a integral original.
Passo 3
Escolho as partes assim (motivação: derivar a raiz simplifica a potência no denominador da futura integral):
Agora calculo
e
:
- Derivando
: - Integro
:
Passo 4
Aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplifico o fator dentro da integral:
Agora resta calcular
Passo 5
Para avaliar
é conveniente fazer a substituição
Com isso:
Portanto a integral transforma-se em
Passo 6
Expando
e distribuo a divisão por
:
então
Logo
Passo 7
Integro termo a termo usando a regra
(válida para
):
Somando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior com o fator
:
Multiplicando os coeficientes:
Substituo
e junto com o termo
obtemos a primitiva:
Passo 9
(Verificação rápida de consistência) Podemos ver que todos os termos têm fator
e potências compatíveis; a expressão é diferenciável no domínio
e, ao derivar, recuperaria
(deixei a verificação explícita para a prova, se precisar mostro os passos da diferenciação).