Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x \sqrt{x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sqrt{x-6}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x\sqrt{x-6}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada), isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x\sqrt{x-6}.
  • O enunciado pede explicitamente para usar integração por partes.

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada símbolo significa:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x que escolhemos para derivar (vai gerar du);
  • dv é a parte restante que escolhemos para integrar (vai gerar v);
  • du é a derivada de u em relação a x, escrita como du = u'(x)\,dx;
  • v é a antiderivada de dv, isto é, v=\int dv.
    A ideia é escolher u e dv de modo que \int v\,du seja mais simples que a integral original.

Passo 3

Escolho as partes assim (motivação: derivar a raiz simplifica a potência no denominador da futura integral):
u=\sqrt{x-6}=(x-6)^{1/2},\qquad dv = x\,dx.
Agora calculo du e v:
  • Derivando u: u=(x-6)^{1/2}\Rightarrow du=\tfrac{1}{2}(x-6)^{-1/2}\,dx=\dfrac{1}{2\sqrt{x-6}}\,dx.
  • Integro dv: dv=x\,dx\Rightarrow v=\dfrac{x^2}{2}.

Passo 4

Aplico a fórmula de integração por partes:
\int x\sqrt{x-6}\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int x\sqrt{x-6}\,dx = \frac{x^2}{2}\sqrt{x-6} - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-6}}\,dx.
Simplifico o fator dentro da integral:
\int x\sqrt{x-6}\,dx = \frac{x^2}{2}\sqrt{x-6} - \frac{1}{4}\int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx.
Agora resta calcular \displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx.

Passo 5

Para avaliar \displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx é conveniente fazer a substituição
s=x-6 \quad\Rightarrow\quad x=s+6,\quad dx=ds.
Com isso:
\frac{x^2}{\sqrt{x-6}} = \frac{(s+6)^2}{\sqrt{s}}.
Portanto a integral transforma-se em
\int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx = \int \frac{(s+6)^2}{\sqrt{s}}\,ds.

Passo 6

Expando (s+6)^2 e distribuo a divisão por \sqrt{s}=s^{1/2}:
(s+6)^2 = s^2 + 12s + 36,
então
\frac{(s+6)^2}{\sqrt{s}} = \frac{s^2}{s^{1/2}} + \frac{12s}{s^{1/2}} + \frac{36}{s^{1/2}} = s^{3/2} + 12 s^{1/2} + 36 s^{-1/2}.
Logo
\int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx = \int \bigl(s^{3/2} + 12 s^{1/2} + 36 s^{-1/2}\bigr)\,ds.

Passo 7

Integro termo a termo usando a regra \displaystyle \int s^{p}\,ds=\frac{s^{p+1}}{p+1} (válida para p\neq -1):
  • \displaystyle \int s^{3/2}\,ds = \frac{s^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}s^{5/2}.
  • \displaystyle \int 12 s^{1/2}\,ds = 12\cdot\frac{s^{3/2}}{3/2} = 12\cdot\frac{2}{3}s^{3/2}=8 s^{3/2}.
  • \displaystyle \int 36 s^{-1/2}\,ds = 36\cdot\frac{s^{1/2}}{1/2} = 36\cdot 2 s^{1/2}=72 s^{1/2}.
Somando:
\int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx = \frac{2}{5}s^{5/2} + 8 s^{3/2} + 72 s^{1/2} + C.

Passo 8

Voltando à expressão anterior com o fator -\dfrac{1}{4}:
-\frac{1}{4}\int \frac{x^2}{\sqrt{x-6}}\,dx = -\frac{1}{4}\Bigl(\frac{2}{5}s^{5/2} + 8 s^{3/2} + 72 s^{1/2}\Bigr) + C.
Multiplicando os coeficientes:
-\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5} = -\frac{1}{10},\qquad -\frac{1}{4}\cdot 8 = -2,\qquad -\frac{1}{4}\cdot 72 = -18.
Substituo s=x-6 e junto com o termo \dfrac{x^2}{2}\sqrt{x-6} obtemos a primitiva:
\int x\sqrt{x-6}\,dx = \frac{x^2}{2}\sqrt{x-6} - \frac{1}{10}(x-6)^{5/2} - 2(x-6)^{3/2} - 18(x-6)^{1/2} + C.

Passo 9

(Verificação rápida de consistência) Podemos ver que todos os termos têm fator (x-6)^{1/2} e potências compatíveis; a expressão é diferenciável no domínio x>6 e, ao derivar, recuperaria x\sqrt{x-6} (deixei a verificação explícita para a prova, se precisar mostro os passos da diferenciação).

Resposta

\frac{x^2}{2}\sqrt{x-6} - \frac{1}{10}(x-6)^{5/2} - 2(x-6)^{3/2} - 18(x-6)^{1/2} + C

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