Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou seja, integrar a função
em relação a
. Não há limites de integração (é uma primitiva), então a resposta deve conter a constante de integração
. Também observe que a expressão matemática relevante é
(logaritmo natural de
).
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Antes de aplicar, eu explico de onde vem a fórmula (rápido e intuitivo): ela é derivada da regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções diferenciáveis
e
,
Integrando ambos os lados em
e reorganizando, obtemos a fórmula
Na notação usual de partes, escrevemos
,
,
e
, ficando
Essa é a ferramenta que vamos usar. A ideia prática é escolher
de modo que
seja mais simples, e
que seja fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Escolha das partes para o nosso integral
.
- Vou escolher
. Justificativa: o logaritmo fica mais simples ao derivar (fica proporcional a ). - Então
. Justificativa: é fácil integrar para obter .
Não existe apenas uma escolha possível, mas essa é a mais direta aqui.
Passo 4
Calcular
e
.
- Derivada de
: usar a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Com , temos
Portanto
- Integrar
para obter :
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes
.
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 6
Simplificar e calcular a integral restante.
Dentro da integral:
Logo
Agora integrar
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (para ter confiança): derivar o resultado deve retornar o integrando
.
Calcule a derivada de
.
Usando a regra do produto em
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Então
Aqui
. E
. Portanto os termos
se cancelam, sobrando
que é exatamente o integrando. Verificação OK.