Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x \ln 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \ln 2x \, dx
ou seja, integrar a função x\ln(2x) em relação a x. Não há limites de integração (é uma primitiva), então a resposta deve conter a constante de integração C. Também observe que a expressão matemática relevante é \ln(2x) (logaritmo natural de 2x).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Antes de aplicar, eu explico de onde vem a fórmula (rápido e intuitivo): ela é derivada da regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x e reorganizando, obtemos a fórmula
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx.
Na notação usual de partes, escrevemos u=u(x), dv=v'(x)\,dx, du=u'(x)\,dx e v=v(x), ficando
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Essa é a ferramenta que vamos usar. A ideia prática é escolher u de modo que du seja mais simples, e dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Escolha das partes para o nosso integral \int x\ln(2x)\,dx.
  • Vou escolher u=\ln(2x). Justificativa: o logaritmo fica mais simples ao derivar (fica proporcional a 1/x).
  • Então dv = x\,dx. Justificativa: é fácil integrar x para obter v.
Não existe apenas uma escolha possível, mas essa é a mais direta aqui.

Passo 4

Calcular du e v.
  • Derivada de u=\ln(2x): usar a regra da cadeia. A derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t. Com t=2x, temos
\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{1}{2x}\cdot\frac{d}{dx}(2x)=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{1}{x}.
Portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.
  • Integrar dv=x\,dx para obter v:
v=\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo u=\ln(2x), v=\dfrac{x^2}{2} e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
\int x\ln(2x)\,dx = \left(\ln(2x)\right)\left(\frac{x^2}{2}\right) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 6

Simplificar e calcular a integral restante.
Dentro da integral:
\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2}.
Logo
\int x\ln(2x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(2x) - \int \frac{x}{2}\,dx.
Agora integrar \displaystyle \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.
Portanto
\int x\ln(2x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(2x) - \frac{x^2}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (para ter confiança): derivar o resultado deve retornar o integrando x\ln(2x).
Calcule a derivada de F(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln(2x)-\dfrac{x^2}{4}.
Usando a regra do produto em \dfrac{x^2}{2}\ln(2x):
  • derivada de \dfrac{x^2}{2} é x;
  • derivada de \ln(2x) é \dfrac{1}{x}.
Então
F'(x)= x\ln(2x) + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x^2}{4}'.
Aqui \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{2}. E \frac{d}{dx}\big(\frac{x^2}{4}\big)=\frac{x}{2}. Portanto os termos \frac{x}{2} se cancelam, sobrando
F'(x)=x\ln(2x),
que é exatamente o integrando. Verificação OK.

Resposta

\displaystyle \frac{x^2}{2}\ln(2x)-\frac{x^2}{4}+C

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