Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x \ln x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \ln x^{2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a integranda é }x\ln x^{2}\quad\text{e a integral é indefinida (logo teremos uma constante }C\text{).}éé
Observação importante: \ln x^{2} está definida para x\neq0 e podemos usar a identidade \ln x^{2}=2\ln\lvert x\rvert, que será útil.

Passo 2

Primeiro simplificamos a integranda usando a identidade mencionada. Escrevo a integral em uma forma mais manuseável:
\int x \ln x^{2}\,dx = \int x\cdot 2\ln\lvert x\rvert\,dx = 2\int x\ln\lvert x\rvert\,dx.

Passo 3

Agora vou aplicar a técnica que resolve integrais do tipo produto de funções: a fórmula de integração por partes. A fórmula é a seguinte (aqui dou a “fórmula” como ferramenta):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Nessa fórmula:
  • u é uma função que escolhemos para derivar ( du será a sua derivada vezes dx);
  • dv é o restante, que integramos para obter v ( v=\int dv).
    Explico o porquê: transformamos a integral original em termos de u, v e uma nova integral \int v\,du que costuma ser mais simples.

Passo 4

Escolhemos as partes para aplicar a fórmula em \int x\ln\lvert x\rvert\,dx. Uma escolha natural é:
u=\ln\lvert x\rvert,\qquad dv = x\,dx.
Motivo da escolha: \ln\lvert x\rvert simplifica bastante quando derivada (vira 1/x), e x\,dx é fácil de integrar. Essa escolha costuma deixar \int v\,du mais simples.

Passo 5

Calculo du e v:
Derivada de u:
du = \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Integral de dv:
v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes à integral \int x\ln\lvert x\rvert\,dx:
\int x\ln\lvert x\rvert\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\ln\lvert x\rvert - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplifico a integral que sobra:
\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Portanto
\int x\ln\lvert x\rvert\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln\lvert x\rvert - \frac{x^{2}}{4} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 7

Lembrando que nossa integral original era 2\int x\ln\lvert x\rvert\,dx, multiplico o resultado por 2:
2\left(\frac{x^{2}}{2}\ln\lvert x\rvert - \frac{x^{2}}{4}\right) + C = x^{2}\ln\lvert x\rvert - \frac{x^{2}}{2} + C.
Aqui juntei as constantes 2C_{1} em uma única constante C.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (para me certificar): derivando
F(x)=x^{2}\ln\lvert x\rvert - \frac{x^{2}}{2}
temos, usando a regra do produto e \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert=\frac{1}{x},
F'(x)=2x\ln\lvert x\rvert + x - x = 2x\ln\lvert x\rvert,
que coincide com x\ln x^{2} porque x\ln x^{2}=2x\ln\lvert x\rvert. Logo está correto.

Resposta

x^{2}\ln\lvert x\rvert - \dfrac{x^{2}}{2} + C

Exercícios relacionados