Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante:
está definida para
e podemos usar a identidade
, que será útil.
Passo 2
Primeiro simplificamos a integranda usando a identidade mencionada. Escrevo a integral em uma forma mais manuseável:
Passo 3
Agora vou aplicar a técnica que resolve integrais do tipo produto de funções: a fórmula de integração por partes. A fórmula é a seguinte (aqui dou a “fórmula” como ferramenta):
Nessa fórmula:
-
é uma função que escolhemos para derivar ( será a sua derivada vezes ); -
é o restante, que integramos para obter ( ).
Explico o porquê: transformamos a integral original em termos de, e uma nova integral que costuma ser mais simples.
Passo 4
Escolhemos as partes para aplicar a fórmula em
. Uma escolha natural é:
Motivo da escolha:
simplifica bastante quando derivada (vira
), e
é fácil de integrar. Essa escolha costuma deixar
mais simples.
Passo 5
Calculo
e
:
Derivada de :
Derivada de
Integral de
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes à integral
:
Simplifico a integral que sobra:
Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 7
Lembrando que nossa integral original era
, multiplico o resultado por
:
Aqui juntei as constantes
em uma única constante
.
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (para me certificar): derivando
temos, usando a regra do produto e
,
que coincide com
porque
. Logo está correto.