Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(i)
.
(i)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação de primeira ordem
é separável e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar teoria de EDOs separáveis: se der para escrever
Passo 2
Observamos que
é da forma
Passo 3
Separamos as variáveis:
Note que
Passo 4
Agora integramos ambos os lados:
Para a integral à esquerda usamos
Passo 5
Calculando as integrais:
À esquerda:
À esquerda:
À direita:
Passo 6
Igualando e reescrevendo, obtemos a solução geral implícita:
ou, equivalentemente,
Resposta
A solução geral implícita é
Em forma explícita,