Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(i) y^prime=(cos ^2 x)(cos ^2 3 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação de primeira ordem
y'=cos^2 x;cos^2(3y)
é separável e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar teoria de EDOs separáveis: se der para escrever y'=f(x)g(y), podemos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Observamos que
y'=cos^2 x;cos^2(3y)
é da forma y'=f(x)g(y) com f(x)=cos^2 x e g(y)=cos^2(3y). Logo, é separável.

Passo 3

Separamos as variáveis:
dycos^2(3y)=cos^2 x,dx
Note que 1/cos^2(3y)=sec^2(3y).

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integralsec^2(3y),dy=integralcos^2 x,dx
Para a integral à esquerda usamos integralsec^2(u)du=tan(u) e em u=3y. Para a direita usamos cos^2 x=(1+cos2x)/2.

Passo 5

Calculando as integrais:
À esquerda:
integralsec^2(3y)dy=13tan(3y)
À direita:
integralcos^2 x,dx=integral1+cos2x2dx=x2+sin2x4+C

Passo 6

Igualando e reescrevendo, obtemos a solução geral implícita:
13tan(3y)=x2+sin2x4+C
ou, equivalentemente,
tan(3y)=3x2+3sin2x4+C'

Resposta

A solução geral implícita é
tan(3y)=3x2+3sin2x4+C'
Em forma explícita,
y=13arctanl(3x2+3sin2x4+C'r)

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