Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{e} x(\ln (x))^{2} d x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral
\int_{1}^{e} x(\ln x)^2 \,dx
usando integração por partes. É preciso aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e depois avaliar a antiderivada no intervalo de 1 a e.

Passo 2

Escolhemos
u = (\ln x)^2, \quad dv = x\,dx.
Então
du = 2\,\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln x}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Pela fórmula de partes:
\int x(\ln x)^2\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \int x\ln x\,dx por partes de novo, escolhendo
u_1 = \ln x, \quad dv_1 = x\,dx.
Logo
du_1 = \frac{1}{x}\,dx, \quad v_1 = \frac{x^2}{2}.
Aplicando partes:
\int x\ln x\,dx = \ln x\cdot\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na antiderivada geral, obtemos
\int x(\ln x)^2\,dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \Bigl(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\Bigr) = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C.

Passo 5

Avaliaremos de 1 a e. Em x=e:
\frac{e^2}{2}\cdot1^2 - \frac{e^2}{2}\cdot1 + \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} + \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{4}.
Em x=1:
\frac{1}{2}\cdot0^2 - \frac{1}{2}\cdot0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Portanto
\int_{1}^{e} x(\ln x)^2\,dx = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^2 - 1}{4}

Exercícios relacionados