Avaliar por substituição trigonométrica: x=a \operatorname{sen}(\theta) ou x=a \tan (\theta) ou x=a \operatorname{sec} (\theta).
\int_{5 / 2}^{5 / \sqrt{2}} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{25-x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{5/2}^{5/\sqrt{2}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}
usando substituição trigonométrica. Como aparece \sqrt{25 - x^{2}}, a escolha natural é
x = 5\sin(\theta),
pois assim \sqrt{25 - x^{2}} = 5\cos(\theta).

Passo 2

Com x = 5\sin(\theta) temos
dx = 5\cos(\theta)\,d\theta,
\sqrt{25 - x^{2}} = 5\cos(\theta),
e
x^{2} = 25\sin^{2}(\theta).

Passo 3

Agora ajustamos os limites de x para \theta:
quando x = \tfrac{5}{2},
\sin(\theta_{1}) = \frac{5/2}{5} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \theta_{1} = \frac{\pi}{6}.
quando x = \tfrac{5}{\sqrt{2}},
\sin(\theta_{2}) = \frac{5/\sqrt{2}}{5} = \frac1{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \theta_{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int_{5/2}^{5/\sqrt{2}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}} = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \frac{5\cos(\theta)\,d\theta}{\bigl(25\sin^{2}(\theta)\bigr)\,\bigl(5\cos(\theta)\bigr)} = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{d\theta}{25\sin^{2}(\theta)} = \frac{1}{25}\int_{\pi/6}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta.

Passo 5

A primitiva de \csc^{2}(\theta) é -\cot(\theta). Logo,
\frac{1}{25}\int \csc^{2}(\theta)\,d\theta = -\frac{1}{25}\cot(\theta).

Passo 6

Avaliaremos de \theta=\tfrac{\pi}{6} a \theta=\tfrac{\pi}{4}:
-\frac{1}{25}\Bigl[\cot\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - \cot\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\Bigr] = -\frac{1}{25}\bigl[1 - \sqrt{3}\bigr] = \frac{\sqrt{3}-1}{25}.

Resposta

\frac{\sqrt{3}-1}{25}

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