Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada.
\int_{-3 \pi / 2}^{3 \pi / 2}|\operatorname{sen}(x)| d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}} \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\,dx
e antes de integrar precisamos determinar se a função f(x)=|\operatorname{sen}(x)| é par ou ímpar, para aproveitar simetria.

Passo 2

Verificamos a paridade de f:
f(-x)=\bigl|\operatorname{sen}(-x)\bigr|=\bigl|-\operatorname{sen}(x)\bigr|=\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|=f(x),
logo f é par.

Passo 3

Como f é par, vale
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx.
Aqui a=\tfrac{3\pi}{2}, então
\int_{-\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}}\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\,dx =2\int_{0}^{\tfrac{3\pi}{2}}\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\,dx.

Passo 4

Precisamos saber onde \operatorname{sen}(x) muda de sinal em [0,\tfrac{3\pi}{2}].
  • Em [0,\pi], \operatorname{sen}(x)\ge0, logo \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|=\operatorname{sen}(x).
  • Em [\pi,\tfrac{3\pi}{2}], \operatorname{sen}(x)\le0, logo \bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|=-\operatorname{sen}(x).
Portanto
\int_{0}^{\tfrac{3\pi}{2}}\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\,dx =\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx +\int_{\pi}^{\tfrac{3\pi}{2}}\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx =\bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} =-\cos(\pi)+\cos(0) =-(-1)+1 =2,
\int_{\pi}^{\tfrac{3\pi}{2}}(-\operatorname{sen}(x))\,dx =\bigl[\cos(x)\bigr]_{\pi}^{\tfrac{3\pi}{2}} =\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)-\cos(\pi) =0-(-1) =1.
Somando dá 2+1=3, e lembrando do fator 2 da simetria:

Resposta

\int_{-\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}}\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr|\,dx =2\times 3 =6.

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