Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.
integral sec ^n(x) d x=tg(x) cdot sec ^n-2(x)n-1-n-2n-1 integral sec ^n-2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para usar integração por partes a fim de obter a fórmula de redução para In=integralsec^n(x),dx. Vamos precisar da regra de integração por partes, da derivada de tan x (que é sec^2x) e da identidade trigonométrica tan^2x=sec^2x-1.

Passo 2

Começamos reescrevendo o integrando como sec^n x=sec^n-2x,sec^2x, e escolhemos
u=sec^n-2(x), dv=sec^2(x),dx

Passo 3

Calculamos du e v:
du=(n-2)sec^n-2(x)tan(x),dx, v=integralsec^2(x),dx=tan(x)

Passo 4

Pela fórmula de partes integral u,dv=uv-integral v,du, obtemos:
In=integralsec^n-2x,sec^2x,dx=sec^n-2(x)tan(x)-(n-2)integralsec^n-2(x)tan^2(x),dx

Passo 5

Agora usamos tan^2x=sec^2x-1 dentro da integral:
In=sec^n-2(x)tan(x)-(n-2)integrall(sec^n(x)-sec^n-2(x)r),dx

Passo 6

Distribuindo e reorganizando termos,
In=sec^n-2(x)tan(x)-(n-2)In+(n-2)!integralsec^n-2(x),dx

Passo 7

Trazendo (n-2)In para o lado esquerdo:
(n-1)In=sec^n-2(x)tan(x)-(n-2)!integralsec^n-2(x),dx

Passo 8

Por fim, dividimos ambos os lados por n-1 e chegamos à fórmula de redução desejada.

Resposta

integralsec^n(x),dx=tan(x),sec^n-2(x)n-1-n-2n-1integralsec^n-2(x),dx

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