Use integração por partes para provar a fórmula de redução.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que precisamos: queremos provar, via técnicas de integração (partes e substituição), que para todo inteiro
vale a fórmula de redução
Passo 2
Reescrevemos a integral usando a identidade
. Assim:
Isso gera duas integrais separadas.
Passo 3
Separamos em
$$I_n=\int\tan{n-2}x,\sec2x,dx;-
\int\tan^{n-2}x,dx$$
A segunda já é . Agora falta calcular a primeira.
A segunda já é
Passo 4
Calculamos
por substituição. Seja
Então
Passo 5
Juntando tudo, obtemos
que é exatamente a fórmula de redução desejada.
Resposta
\displaystyle\int\tan^n x,dx=\frac{\tan{n-1}x}{n-1}-\int\tan{n-2}x,dx\quad(n\neq1)