Use integração por partes para provar a fórmula de redução.
integral tan ^n x d x=tan ^n-1 xn-1-integral tan ^n-2 x d x (n neq 1)

Passo 1

Resumo do enunciado e do que precisamos: queremos provar, via técnicas de integração (partes e substituição), que para todo inteiro nneq1 vale a fórmula de redução

Passo 2

Reescrevemos a integral usando a identidade tan^2x=sec^2x-1. Assim:
In=integraltan^n x,dx=integraltan^n-2x,tan^2x,dx=integraltan^n-2x,(sec^2x-1),dx
Isso gera duas integrais separadas.

Passo 3

Separamos em
$$I_n=\int\tan{n-2}x,\sec2x,dx;-
\int\tan^{n-2}x,dx$$
A segunda já é In=integraltan^n-2x,sec^2x,dx;- integraltan^n-2x,dx. Agora falta calcular a primeira.

Passo 4

Calculamos integraltan^n-2x,sec^2x,dx por substituição. Seja
u=tan xRightarrow du=sec^2x,dx
Então
integraltan^n-2x,sec^2x,dx=integral u^n-2,du=u^n-1n-1=tan^n-1xn-1

Passo 5

Juntando tudo, obtemos
In=tan^n-1xn-1-In-2,
que é exatamente a fórmula de redução desejada.

Resposta

\displaystyle\int\tan^n x,dx=\frac{\tan{n-1}x}{n-1}-\int\tan{n-2}x,dx\quad(n\neq1)

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