Use integrais duplas para calcular a área de um laço de r=2 a cos 3 theta. Faça o mesmo para um laço de r=2 a cos 2 theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de um único laço das curvas polares r=2a cos 3θ e r=2a cos 2θ usando integrais duplas. O conteúdo principal é a fórmula da área em coordenadas polares, que diz que a área de uma região limitada por r=f(θ) entre θ₁ e θ₂ é dada por
A=12integralθ₁^θ₂r^2,dθ
Para resolver, vamos precisar identificar corretamente os limites θ₁ e θ₂ de cada laço (onde r zera) e em seguida avaliar a integral.

Passo 2

Para a curva r=2a cos 3θ, temos cos 3θ=0 quando 3θ=±π/2 ⇒ θ=±π/6. Logo um laço está entre θ=−π/6 e θ=π/6. A área desse laço é
A1=12integral-pi/6^pi/6(2acos3θ)^2,dθ=2a^2integral-pi/6^pi/6cos^2(3θ),dθ

Passo 3

Para calcular A₁, usamos cos^2u=(1+cos2u)/2 com u=3θ. Assim:
A1=2a^2integral-pi/6^pi/61+cos6θ2,dθ=a^2integral-pi/6^pi/6(1+cos6θ),dθ
Integrando:
A1=a^2l[θ+tfrac16sin6θr]-pi/6^pi/6=a^2l(tfracpi3+0r)=pi a^23

Passo 4

Para a curva r=2a cos 2θ, cos 2θ=0 quando 2θ=±π/2 ⇒ θ=±π/4. Um laço vai de θ=−π/4 a θ=π/4. A área é
A2=12integral-pi/4^pi/4(2acos2θ)^2,dθ=2a^2integral-pi/4^pi/4cos^2(2θ),dθ

Passo 5

Usando cos^2v=(1+cos2v)/2 com v=2θ, temos:
A2=2a^2integral-pi/4^pi/41+cos4θ2,dθ=a^2integral-pi/4^pi/4(1+cos4θ),dθ
Integrando:
A2=a^2l[θ+tfrac14sin4θr]-pi/4^pi/4=a^2l(tfracpi2+0r)=pi a^22

Resposta

A área de um laço de r=2a cos 3θ é pi a^23 e a de um laço de r=2a cos 2θ é pi a^22.

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