Use integrais duplas para calcular a área de um laço de
. Faça o mesmo para um laço de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área de um único laço das curvas polares r=2a cos 3θ e r=2a cos 2θ usando integrais duplas. O conteúdo principal é a fórmula da área em coordenadas polares, que diz que a área de uma região limitada por r=f(θ) entre θ₁ e θ₂ é dada por
Para resolver, vamos precisar identificar corretamente os limites θ₁ e θ₂ de cada laço (onde r zera) e em seguida avaliar a integral.
Passo 2
Para a curva r=2a cos 3θ, temos cos 3θ=0 quando 3θ=±π/2 ⇒ θ=±π/6. Logo um laço está entre θ=−π/6 e θ=π/6. A área desse laço é
Passo 3
Para calcular A₁, usamos
com
. Assim:
Integrando:
Passo 4
Para a curva r=2a cos 2θ, cos 2θ=0 quando 2θ=±π/2 ⇒ θ=±π/4. Um laço vai de θ=−π/4 a θ=π/4. A área é
Passo 5
Usando
com
, temos:
Integrando:
Resposta
A área de um laço de r=2a cos 3θ é
e a de um laço de r=2a cos 2θ é
.