Use integrais duplas para calcular a área de um laço de r=2 a cos 2 theta. Resp.: a^2 pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a área de um laço da curva em coordenadas polares r = 2acos2θ usando integrais duplas. Vamos usar que em coordenadas polares o elemento de área é dA = r,dr,dθ.

Passo 2

Um laço corresponde a r >= 0, isto é cos2θ >= 0, que ocorre em -tfracpi4 <= θ <= tfracpi4. A região R é dada por 0 <= r <= 2acos2θ e -tfracpi4 <= θ <= tfracpi4. Logo a área é
A = integral-tfracpi4^tfracpi4 integral0^2acos2θ r,dr,dθ

Passo 3

Integrando em r:
integral0^2acos2θ r,dr = (2acos2θ)^22 = 2a^2cos^2(2θ)
Logo
A = integral-tfracpi4^tfracpi4 2a^2cos^2(2θ),dθ

Passo 4

Usar a identidade cos^2(u) = tfrac1+cos(2u)2 com u=2θ. Assim
A = 2a^2 integral-tfracpi4^tfracpi4 1+cos(4θ)2,dθ = a^2 integral-tfracpi4^tfracpi4 (1+cos(4θ)),dθ

Passo 5

Avaliar a integral em θ:
integral-tfracpi4^tfracpi4 (1+cos(4θ)),dθ = l[θ + sin(4θ)4r]-tfracpi4^tfracpi4,
usando sin(pi) = sin(-pi) = 0.

Resposta

a^2pi/2

Exercícios relacionados